Номер 2.105, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.105*. Известно, что функция $y=f(x)$ определена на множестве действительных чисел, является четной и $f(a) \neq 0$. Верно ли, что:

a) $f(a)+f(-a)=0;$

б) $\frac{f(a)}{f(-a)}=1;$

в) $f(a) \cdot f(-a)<0;$

г) $f(a)-f(-a)=0?$

Ответьте на эти же вопросы, если функция $y=f(x)$ является нечетной.

Анализ для четной функции

По определению, функция $y = f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. В условии задачи также указано, что $f(a) \neq 0$.

а) $f(a) + f(-a) = 0;$
Используя свойство четности, заменяем $f(-a)$ на $f(a)$: $f(a) + f(a) = 2f(a)$.
Так как по условию $f(a) \neq 0$, то и $2f(a) \neq 0$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет.

б) $\frac{f(a)}{f(-a)} = 1;$
Заменяем в знаменателе $f(-a)$ на $f(a)$: $\frac{f(a)}{f(a)}$.
Поскольку $f(a) \neq 0$, деление возможно, и результат равен $1$. Утверждение верно.
Ответ: Да.

в) $f(a) \cdot f(-a) < 0;$
Заменяем $f(-a)$ на $f(a)$: $f(a) \cdot f(a) = (f(a))^2$.
Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен, то есть $(f(a))^2 > 0$. Таким образом, неравенство не выполняется.
Ответ: Нет.

г) $f(a) - f(-a) = 0?$
Заменяем $f(-a)$ на $f(a)$: $f(a) - f(a) = 0$.
Равенство выполняется для любого значения $f(a)$, поэтому утверждение верно.
Ответ: Да.

Анализ для нечетной функции

По определению, функция $y = f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. По условию также $f(a) \neq 0$.

а) $f(a) + f(-a) = 0;$
Используя свойство нечетности, заменяем $f(-a)$ на $-f(a)$: $f(a) + (-f(a)) = f(a) - f(a) = 0$.
Равенство выполняется для любого значения $f(a)$, поэтому утверждение верно.
Ответ: Да.

б) $\frac{f(a)}{f(-a)} = 1;$
Заменяем в знаменателе $f(-a)$ на $-f(a)$: $\frac{f(a)}{-f(a)} = -1$.
Так как $-1 \neq 1$, утверждение неверно.
Ответ: Нет.

в) $f(a) \cdot f(-a) < 0;$
Заменяем $f(-a)$ на $-f(a)$: $f(a) \cdot (-f(a)) = -(f(a))^2$.
Поскольку $f(a) \neq 0$, то $(f(a))^2 > 0$, а значит $-(f(a))^2 < 0$. Неравенство выполняется, утверждение верно.
Ответ: Да.

г) $f(a) - f(-a) = 0?$
Заменяем $f(-a)$ на $-f(a)$: $f(a) - (-f(a)) = f(a) + f(a) = 2f(a)$.
Так как по условию $f(a) \neq 0$, то $2f(a) \neq 0$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет.