Номер 2.98, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.98. Приведите примеры линейной и квадратичной функций, являющихся четными.

Для решения этой задачи необходимо использовать определение четной функции. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Графически это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$.

Для того чтобы функция была четной, должно выполняться условие $y(-x) = y(x)$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = k(-x) + b = -kx + b$.

Теперь приравняем $y(x)$ и $y(-x)$:

$kx + b = -kx + b$

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения:

$kx = -kx$

Перенесем все члены в левую часть:

$2kx = 0$

Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $k=0$.

Таким образом, любая линейная функция вида $y=b$ (где $b$ - любое постоянное число) является четной. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси абсцисс.

Ответ: $y=5$.

Общий вид квадратичной функции задается формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Для того чтобы функция была четной, должно выполняться условие $y(-x) = y(x)$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$.

Теперь приравняем $y(x)$ и $y(-x)$:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - bx + c$

Вычтем $ax^2$ и $c$ из обеих частей уравнения:

$bx = -bx$

Перенесем все члены в левую часть:

$2bx = 0$

Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент $b=0$.

Таким образом, любая квадратичная функция вида $y=ax^2 + c$ (где $a \neq 0$) является четной. Осью симметрии графика такой функции (параболы) является ось ординат.

Ответ: $y=2x^2+3$.