Номер 2.91, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.91. На рисунке 35 изображена часть графика функции $y=f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$. Изобразите в тетради график функции на всей ее области определения, зная, что эта функция:

а) четная;

б) нечетная.

Для каждого случая найдите $f(-1)$; $f(-4)$.

Рис. 35

Для решения этой задачи необходимо использовать определения четной и нечетной функций. Нам дан график функции $y = f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$. Из этого графика мы можем определить значения функции в некоторых положительных точках:

• $f(1) = 2$
• $f(4) = 0$

а) В этом случае предполагается, что функция четная. По определению, для четной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы построить график для $x < 0$, мы должны отразить заданную часть графика симметрично относительно оси OY.

Теперь найдем значения функции в точках -1 и -4, используя свойство четности:

• $f(-1) = f(1)$. Из графика известно, что $f(1) = 2$. Следовательно, $f(-1) = 2$.
• $f(-4) = f(4)$. Из графика известно, что $f(4) = 0$. Следовательно, $f(-4) = 0$.

Ответ: $f(-1) = 2$, $f(-4) = 0$.

б) В этом случае предполагается, что функция нечетная. По определению, для нечетной функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)).

Чтобы построить график для $x < 0$, мы должны отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат.

Теперь найдем значения функции в точках -1 и -4, используя свойство нечетности:

• $f(-1) = -f(1)$. Из графика известно, что $f(1) = 2$. Следовательно, $f(-1) = -2$.
• $f(-4) = -f(4)$. Из графика известно, что $f(4) = 0$. Следовательно, $f(-4) = -0 = 0$.

Ответ: $f(-1) = -2$, $f(-4) = 0$.