вопрос 1, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Существуют ли функции, определенные на множестве всех действительных чисел, которые одновременно являются:

а) четными и возрастающими;

б) нечетными и убывающими?

а) четными и возрастающими;

Предположим, что такая функция $f(x)$, определенная на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, существует.

По определению, функция является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство: $f(-x) = f(x)$.

По определению, функция является возрастающей (строго возрастающей), если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство: $f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим два произвольных числа из области определения, например, $x_1 = -a$ и $x_2 = a$, где $a > 0$. Очевидно, что $-a < a$.

Так как функция $f(x)$ является возрастающей, для $-a < a$ должно выполняться неравенство: $f(-a) < f(a)$.

С другой стороны, так как функция $f(x)$ является четной, должно выполняться равенство: $f(-a) = f(a)$.

Мы получили противоречие: значение $f(a)$ не может быть одновременно строго больше $f(-a)$ и равно ему. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такой функции неверно.

Примечание: Если рассматривать нестрогое возрастание (неубывание), при котором $f(x_1) \le f(x_2)$, то такая функция существует — это любая константная функция $f(x) = C$. Однако в стандартном курсе математики под "возрастающей" функцией понимают строго возрастающую.

Ответ: Нет, таких функций не существует.

б) нечетными и убывающими?

По определению, функция является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.

По определению, функция является убывающей (строго убывающей), если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство: $f(x_1) > f(x_2)$.

Проверим, не противоречат ли эти два свойства друг другу. Пусть $x_1 < x_2$. Тогда $-x_2 < -x_1$. Из свойства убывания следует:
1) $f(x_1) > f(x_2)$
2) $f(-x_2) > f(-x_1)$

Используем свойство нечетности для второго неравенства: $f(-x_2) = -f(x_2)$ и $f(-x_1) = -f(x_1)$. Подставив это в неравенство $f(-x_2) > f(-x_1)$, получаем: $-f(x_2) > -f(x_1)$.

Умножим обе части последнего неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $f(x_2) < f(x_1)$, что эквивалентно $f(x_1) > f(x_2)$.

Это полностью совпадает с исходным условием убывания. Противоречия нет, следовательно, такие функции могут существовать.

Приведем пример такой функции: $f(x) = -x^3$.

• Область определения: все действительные числа, $\mathbb{R}$.
• Проверка на нечетность: $f(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3$. Выражение $-f(x) = -(-x^3) = x^3$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
• Проверка на убывание: Найдем производную функции: $f'(x) = (-x^3)' = -3x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -3x^2 \le 0$ для любого $x$. Производная равна нулю только в одной точке $x=0$. Следовательно, функция строго убывает на всей числовой прямой.

Другими примерами могут служить функции $f(x) = -x$ или $f(x) = -\arctan(x)$.

Ответ: Да, такие функции существуют.