Номер 2.90, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.90. На рисунке 34 изображена часть графика функции $y=f(x)$ для $x \in [-7;-1]$. Изобразите в тетради часть графика этой функции для $x \in [1; 7]$, если известно, что она является:

а) четной;

б) нечетной.

Рис. 34

Для решения задачи необходимо использовать определения четной и нечетной функций и их свойства симметрии.

Функция $y = f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Чтобы построить часть графика для $x \in [1; 7]$, нужно симметрично отразить заданную часть графика (для $x \in [-7; -1]$) относительно оси OY. Каждой точке $(x; y)$ на исходном графике будет соответствовать точка $(-x; y)$ на искомом графике.

Найдем координаты ключевых точек для $x \in [1; 7]$:

• Исходная точка: $(-1; -5)$. Симметричная ей точка: $(1; -5)$.
• Исходная точка: $(-3; 4)$. Симметричная ей точка: $(3; 4)$.
• Исходная точка: $(-5; -4)$. Симметричная ей точка: $(5; -4)$.
• Исходная точка: $(-7; 2)$. Симметричная ей точка: $(7; 2)$.

Соединив последовательно точки $(1; -5)$, $(3; 4)$, $(5; -4)$ и $(7; 2)$ отрезками, мы получим график функции на промежутке $x \in [1; 7]$.

Графически это будет выглядеть так:

Функция $y = f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0; 0)). Чтобы построить часть графика для $x \in [1; 7]$, нужно симметрично отразить заданную часть графика (для $x \in [-7; -1]$) относительно начала координат. Каждой точке $(x; y)$ на исходном графике будет соответствовать точка $(-x; -y)$ на искомом графике.

Найдем координаты ключевых точек для $x \in [1; 7]$:

• Исходная точка: $(-1; -5)$. Симметричная ей точка: $(1; 5)$.
• Исходная точка: $(-3; 4)$. Симметричная ей точка: $(3; -4)$.
• Исходная точка: $(-5; -4)$. Симметричная ей точка: $(5; 4)$.
• Исходная точка: $(-7; 2)$. Симметричная ей точка: $(7; -2)$.

Соединив последовательно точки $(1; 5)$, $(3; -4)$, $(5; 4)$ и $(7; -2)$ отрезками, мы получим график функции на промежутке $x \in [1; 7]$.

Графически это будет выглядеть так: