Номер 2.89, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.89. На рисунке 33 выберите изображения графиков:

а) четных функций;

б) нечетных функций.

Рис. 33

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной по ее графику, необходимо проанализировать его симметрию.

• Четная функция: График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике, точка $(-x, y)$ также будет принадлежать этому графику. Формально это свойство записывается как $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.
• Нечетная функция: График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)). Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике, точка $(-x, -y)$ также будет принадлежать этому графику. Формально это свойство записывается как $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.
• Функция общего вида (ни четная, ни нечетная): Если график функции не обладает ни одним из вышеуказанных видов симметрии, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим каждый график:

1. График 1: График симметричен относительно оси OY. Например, значения функции в точках $x=2$ и $x=-2$ одинаковы и равны -1. Аналогично, $f(4) = f(-4) = -2$. Следовательно, это график четной функции.
2. График 2: График симметричен относительно оси OY. Например, $f(4) = f(-4) = -3$ и $f(6) = f(-6) = 3$. Следовательно, это график четной функции.
3. График 3: График не имеет симметрии ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Например, минимум функции находится в точке $x = -1$, а не на оси OY, что нарушает осевую симметрию. Проверка на центральную симметрию также дает отрицательный результат: $f(2) = -1$, а $f(-2) \approx -1.8$, что не равно $-f(2)=1$. Следовательно, это функция общего вида.
4. График 4: График симметричен относительно начала координат O(0,0). Например, точке $(2, 1)$ на графике соответствует точка $(-2, -1)$, а точке $(4, 2)$ — точка $(-4, -2)$. Следовательно, это график нечетной функции.
5. График 5: График симметричен относительно начала координат O(0,0). Например, точке $(2, 2)$ на графике соответствует точка $(-2, -2)$, а точке $(4, 3)$ — точка $(-4, -3)$. Следовательно, это график нечетной функции.
6. График 6: График не является ни четным, ни нечетным. Хотя для многих точек кажется, что выполняется симметрия относительно начала координат (например, $f(3)=3$ и $f(-3)=-3$), но область определения функции не является симметричной. В точке $x=5$ функция определена (сплошная точка), а в точке $x=-5$ — нет (выколотая точка). Поскольку симметричная область определения является необходимым условием для четности или нечетности, эта функция является функцией общего вида.

а) четных функций; Ответ: 1, 2.

б) нечетных функций. Ответ: 4, 5.