Номер 2.88, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.88. Выберите множество чисел, которое не может являться областью определения четной или нечетной функции:

а) $(-10, 10)$;

б) $[-5, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 5]$;

в) $[-1, 3]$;

г) $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

По определению, функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Ключевым условием для обеих категорий функций является то, что их область определения $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (нуля). Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать.

Проверим каждое из предложенных множеств на свойство симметричности.

а) $(-10; 10)$
Данный интервал симметричен относительно нуля. Для любого числа $x$, такого что $-10 < x < 10$, противоположное ему число $-x$ также удовлетворяет этому неравенству: $-10 < -x < 10$.
Ответ: Данное множество может являться областью определения четной или нечетной функции.

б) $[-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 5]$
Это множество также симметрично относительно нуля. Если взять любое число $x$ из этого объединения, то число $-x$ также будет в нем содержаться. Например, если $x = 4$, то $-x = -4$, и оба числа принадлежат множеству. Если $x = -5$, то $-x = 5$, и оба числа также принадлежат множеству.
Ответ: Данное множество может являться областью определения четной или нечетной функции.

в) $[-1; 3]$
Данный отрезок не является симметричным относительно нуля. Например, точка $x = 3$ принадлежит этому множеству, так как $-1 \le 3 \le 3$. Однако, противоположная точка $-x = -3$ не принадлежит этому множеству, так как $-3 < -1$. Условие симметричности области определения не выполняется.
Ответ: Данное множество не может являться областью определения четной или нечетной функции.

г) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
Это множество всех действительных чисел, кроме нуля. Оно симметрично относительно нуля. Для любого ненулевого числа $x$, противоположное ему число $-x$ также является ненулевым и принадлежит этому множеству.
Ответ: Данное множество может являться областью определения четной или нечетной функции.

Следовательно, множество, которое не может являться областью определения четной или нечетной функции, — это $[-1; 3]$.