вопрос 2, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Можно ли знак «?» на схеме (рис. 32) заменить названием вида функции? Если можно, приведите пример.

Функция

Четная

Нечетная

Ни четная, ни нечетная

?

Рис. 32

Можно ли знак «?» на схеме (рис. 32) заменить названием вида функции? Ответ:

Да, можно. Схема на рисунке 32 показывает классификацию функций по свойству четности. Все функции по этому признаку делятся на три взаимоисключающие группы: четные, нечетные и ни те, ни другие (функции общего вида). Эта классификация является исчерпывающей по данному свойству.

Однако функции можно классифицировать и по множеству других свойств. Стрелка, указывающая на знак «?», может представлять другую, независимую от четности, классификацию или свойство функций. Таким образом, знак вопроса можно заменить названием другого вида функций.

Если можно, приведите пример. Ответ:

В качестве такого свойства можно взять периодичность. Тогда знак «?» можно заменить на «Периодическая функция».

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Например, функция $y = \cos(x)$ является периодической, её наименьший положительный период равен $2\pi$. Одновременно эта функция является четной, так как $\cos(-x) = \cos(x)$.

Другой пример — функция $y = \sin(x)$. Она также периодическая с периодом $2\pi$, но при этом является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Это показывает, что одна и та же функция может характеризоваться разными свойствами одновременно (например, быть периодической и четной).

В качестве других примеров для замены знака «?» можно использовать:

• Возрастающая функция (например, $y = 2^x$).
• Ограниченная функция (например, $y = \frac{1}{1+x^2}$).
• Непрерывная функция (например, любая элементарная функция в своей области определения).