Номер 2.140, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.140. С помощью каких преобразований графика функции $y = x^2$ можно построить график функции:

а) $y = (x - 2)^2$;

б) $y = (x + 4)^2$;

в) $y = x^2 - 3$;

г) $y = x^2 + 1;

д) $y = (x - 4)^2 - 5;

е) $y = (x + 3)^2 + 1?

Постройте эти графики.

Все указанные функции являются квадратичными, и их графики – параболы, которые можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью преобразований параллельного переноса (сдвига).

Общее правило для построения графика функции $y = (x - h)^2 + k$:

• График функции $y = x^2$ сдвигается по горизонтали (вдоль оси Ox) на $h$ единиц. Если $h > 0$, сдвиг происходит вправо, если $h < 0$ – влево.
• График функции $y = x^2$ сдвигается по вертикали (вдоль оси Oy) на $k$ единиц. Если $k > 0$, сдвиг происходит вверх, если $k < 0$ – вниз.

Вершина параболы при этом смещается из точки $(0, 0)$ в точку с координатами $(h, k)$.

а) $y = (x - 2)^2$
В данном случае $h = 2$, $k = 0$. Чтобы построить график функции $y = (x - 2)^2$, необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y = x^2$ вдоль оси Ox на 2 единицы вправо.
Вершина параболы сместится в точку $(2, 0)$. Ось симметрии – прямая $x = 2$.
Для построения графика, помимо вершины, найдем еще несколько точек. Возьмем значения $x$, симметричные относительно оси $x=2$:
При $x=1$ и $x=3$, $y = (1-2)^2 = (-1)^2 = 1$ и $y = (3-2)^2 = 1^2 = 1$. Точки: $(1, 1)$ и $(3, 1)$.
При $x=0$ и $x=4$, $y = (0-2)^2 = (-2)^2 = 4$ и $y = (4-2)^2 = 2^2 = 4$. Точки: $(0, 4)$ и $(4, 4)$.
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

б) $y = (x + 4)^2$
Представим функцию в виде $y = (x - (-4))^2$. Здесь $h = -4$, $k = 0$. Чтобы построить график, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = x^2$ вдоль оси Ox на 4 единицы влево.
Вершина параболы сместится в точку $(-4, 0)$. Ось симметрии – прямая $x = -4$.
Найдем дополнительные точки:
При $x=-3$ и $x=-5$, $y = (-3+4)^2 = 1^2 = 1$ и $y = (-5+4)^2 = (-1)^2 = 1$. Точки: $(-3, 1)$ и $(-5, 1)$.
При $x=-2$ и $x=-6$, $y = (-2+4)^2 = 2^2 = 4$ и $y = (-6+4)^2 = (-2)^2 = 4$. Точки: $(-2, 4)$ и $(-6, 4)$.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

в) $y = x^2 - 3$
В данном случае $h = 0$, $k = -3$. Чтобы построить график, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = x^2$ вдоль оси Oy на 3 единицы вниз.
Вершина параболы сместится в точку $(0, -3)$. Ось симметрии – прямая $x = 0$ (ось Oy).
Найдем дополнительные точки:
При $x=1$ и $x=-1$, $y = 1^2 - 3 = -2$. Точки: $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.
При $x=2$ и $x=-2$, $y = 2^2 - 3 = 1$. Точки: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

г) $y = x^2 + 1$
Здесь $h = 0$, $k = 1$. Чтобы построить график, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = x^2$ вдоль оси Oy на 1 единицу вверх.
Вершина параболы сместится в точку $(0, 1)$. Ось симметрии – прямая $x = 0$ (ось Oy).
Найдем дополнительные точки:
При $x=1$ и $x=-1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точки: $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.
При $x=2$ и $x=-2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точки: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

д) $y = (x - 4)^2 - 5$
Здесь $h = 4$, $k = -5$. Чтобы построить график, необходимо выполнить два параллельных переноса графика $y = x^2$: на 4 единицы вправо вдоль оси Ox и на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.
Вершина параболы сместится в точку $(4, -5)$. Ось симметрии – прямая $x = 4$.
Найдем дополнительные точки:
При $x=3$ и $x=5$, $y = (3-4)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$ и $y = (5-4)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$. Точки: $(3, -4)$ и $(5, -4)$.
При $x=2$ и $x=6$, $y = (2-4)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$ и $y = (6-4)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$. Точки: $(2, -1)$ и $(6, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 4 единицы вправо и на 5 единиц вниз.

е) $y = (x + 3)^2 + 1$
Представим функцию в виде $y = (x - (-3))^2 + 1$. Здесь $h = -3$, $k = 1$. Чтобы построить график, необходимо сдвинуть график $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.
Вершина параболы сместится в точку $(-3, 1)$. Ось симметрии – прямая $x = -3$.
Найдем дополнительные точки:
При $x=-2$ и $x=-4$, $y = (-2+3)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$ и $y = (-4+3)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точки: $(-2, 2)$ и $(-4, 2)$.
При $x=-1$ и $x=-5$, $y = (-1+3)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ и $y = (-5+3)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Точки: $(-1, 5)$ и $(-5, 5)$.
Ответ: График функции $y = x^2$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.