Номер 199, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

199. Найдите промежуток возрастания функции:

a) $y=3x^2+18x-1;$

б) $y=-(x-3)^2+1;$

в) $y=(2x-1)(x+3).$

а) Дана функция $y=3x^2+18x-1$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты данной функции: $a=3$, $b=18$, $c=-1$.

Поскольку старший коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке до вершины и возрастает на промежутке после вершины. Таким образом, промежуток возрастания — это $[x_v; +\infty)$, где $x_v$ — абсцисса вершины параболы.

Абсциссу вершины найдем по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{18}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3$

Следовательно, промежуток возрастания функции: $[-3; +\infty)$.

Ответ: $[-3; +\infty)$.

б) Дана функция $y=-(x-3)^2+1$.

Эта квадратичная функция представлена в вершинной форме $y=a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

Из уравнения видно, что $a=-1$, $h=3$, $k=1$. Координаты вершины: $(3, 1)$, следовательно, абсцисса вершины $x_v = 3$.

Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция возрастает на промежутке до вершины и убывает на промежутке после вершины. Таким образом, промежуток возрастания — это $(-\infty; x_v]$.

Следовательно, промежуток возрастания функции: $(-\infty; 3]$.

Ответ: $(-\infty; 3]$.

в) Дана функция $y=(2x-1)(x+3)$.

Для нахождения промежутка возрастания приведем функцию к стандартному виду $y=ax^2+bx+c$, раскрыв скобки:

$y = 2x(x+3) - 1(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Теперь функция имеет вид $y=2x^2+5x-3$. Это парабола с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=-3$.

Поскольку старший коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Промежуток возрастания функции — $[x_v; +\infty)$.

Найдем абсциссу вершины $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.

Промежуток возрастания: $[-\frac{5}{4}; +\infty)$.

Для ответа преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$.

Ответ: $[-1\frac{1}{4}; +\infty)$.