Номер 200, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

200. Найдите промежуток убывания функции:

a) $y=12-\frac{1}{6}(x+4)^2;$

б) $y=x^2-6;$

в) $y=(3-x)(2x+1).$

а) Дана функция $y = 12 - \frac{1}{6}(x+4)^2$.
Это квадратичная функция, график которой – парабола. Функция уже представлена в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$, где $a = -\frac{1}{6}$, а вершина находится в точке $(h, k)$.
В нашем случае $y = -\frac{1}{6}(x - (-4))^2 + 12$.
Коэффициент при старшей степени $a = -\frac{1}{6}$ отрицателен ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Для параболы с ветвями вниз, функция возрастает до вершины и убывает после нее.
Абсцисса (координата по оси x) вершины параболы $x_v = h = -4$.
Следовательно, функция убывает на промежутке от абсциссы вершины до плюс бесконечности.
Ответ: $[-4, +\infty)$.

б) Дана функция $y = x^2 - 6$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-6$. График – парабола.
Коэффициент $a = 1$ положителен ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Для параболы с ветвями вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.
Найдем абсциссу вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Следовательно, функция убывает на промежутке от минус бесконечности до абсциссы вершины.
Ответ: $(-\infty, 0]$.

в) Дана функция $y = (3-x)(2x+1)$.
Для определения свойств функции, приведем ее к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ путем раскрытия скобок:
$y = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 - x \cdot 2x - x \cdot 1 = 6x + 3 - 2x^2 - x = -2x^2 + 5x + 3$.
Это квадратичная функция, график – парабола. Коэффициент $a = -2$ отрицателен ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз.
Как и в пункте а), функция убывает на промежутке после вершины.
Найдем абсциссу вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{-4} = \frac{5}{4}$.
Поскольку $\frac{5}{4}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Промежуток убывания функции – это $[x_v, +\infty)$.
Ответ: $[1\frac{1}{4}, +\infty)$.