Номер 207, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

207. Найдите координаты общих точек графиков функций $y = 2x^2 - 2$ и $y = x^2 + 4x + 3$.

Для того чтобы найти координаты общих точек графиков функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих двух функций. Геометрически это означает нахождение точек пересечения. Самый простой способ — приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ равны.

Даны две функции:

$y = 2x^2 - 2$

$y = x^2 + 4x + 3$

Приравняем выражения для $y$:

$2x^2 - 2 = x^2 + 4x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 - 4x - 2 - 3 = 0$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-5$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы ($x$) общих точек. Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Для простоты вычислений воспользуемся первым уравнением: $y = 2x^2 - 2$.

1. Для $x_1 = 5$:

$y_1 = 2(5)^2 - 2 = 2 \cdot 25 - 2 = 50 - 2 = 48$

Таким образом, первая общая точка имеет координаты $(5, 48)$.

2. Для $x_2 = -1$:

$y_2 = 2(-1)^2 - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 2 - 2 = 0$

Таким образом, вторая общая точка имеет координаты $(-1, 0)$.

Ответ: Координаты общих точек графиков функций: $(5, 48)$ и $(-1, 0)$.