Номер 209, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

209. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 102:

а) $y = |x + 2| + 1;$

б) $y = -|x - 2| - 1;$

в) $y = |x - 2| - 1;$

г) $y = |x + 2| - 1;$

д) $y = |x - 1| - 2.

Рис. 102

Для того чтобы выбрать правильную функцию, необходимо проанализировать представленный график. График является преобразованием базовой функции модуля $y = |x|$. Общий вид такой преобразованной функции записывается как $y = a|x - h| + k$.

Проанализируем параметры графика на рисунке 102:

• Вершина графика: Это точка, в которой график меняет свое направление. На рисунке вершина находится в точке с координатами $(2, -1)$. В общей формуле это соответствует значениям $h=2$ и $k=-1$.
• Направление ветвей: Ветви графика направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ перед модулем является положительным числом ($a > 0$).
• Коэффициент наклона (растяжения): Стандартный график $y=|x|$ имеет ветви с угловыми коэффициентами $1$ и $-1$. Проверим наклон правой ветви изображенного графика. Она проходит через точки $(2, -1)$ и $(3, 0)$. Угловой коэффициент (наклон) равен: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-1)}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$. Это подтверждает, что график не растянут и не сжат по вертикали.

Собирая все параметры вместе, получаем уравнение функции, изображенной на графике: $y = 1 \cdot |x - 2| + (-1)$, что упрощается до $y = |x - 2| - 1$.

Теперь сравним полученное уравнение с предложенными вариантами.

а) $y = |x + 2| + 1$. Это график функции $y=|x|$, смещенный на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Его вершина находится в точке $(-2, 1)$. Это не соответствует графику на рисунке. Ответ: Неверно.

б) $y = -|x - 2| - 1$. Это график функции $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз, а также отраженный относительно оси Ox (ветви направлены вниз из-за знака "минус" перед модулем). Его вершина находится в точке $(2, -1)$, но ветви направлены вниз. Это не соответствует графику на рисунке. Ответ: Неверно.

в) $y = |x - 2| - 1$. Это график функции $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Его вершина находится в точке $(2, -1)$, а ветви направлены вверх. Это полностью соответствует графику на рисунке. Ответ: Верно.

г) $y = |x + 2| - 1$. Это график функции $y=|x|$, смещенный на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Его вершина находится в точке $(-2, -1)$. Это не соответствует графику на рисунке. Ответ: Неверно.

д) $y = |x - 1| - 2$. Это график функции $y=|x|$, смещенный на 1 единицу вправо и на 2 единицы вниз. Его вершина находится в точке $(1, -2)$. Это не соответствует графику на рисунке. Ответ: Неверно.