Номер 215, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

215. Запишите уравнение окружности, которая симметрична окружности, изображенной на рисунке 104, относительно прямой $y = -10$.

Рис. 104

Для того чтобы записать уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой $y = -10$, необходимо выполнить последовательность действий.

1. Нахождение уравнения исходной окружности

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

По данным с рисунка 104 определим эти параметры для исходной окружности:

• Центр окружности: Точка, отмеченная в центре, имеет координаты $(3, -4)$. Следовательно, $a = 3$ и $b = -4$.
• Радиус окружности: Радиус $R$ можно найти как расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, расстояние по горизонтали от центра $(3, -4)$ до самой правой точки окружности $(8, -4)$ составляет $8 - 3 = 5$ единиц. Значит, $R = 5$.

Теперь подставим найденные значения в общую формулу:

$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$

Упростив, получаем уравнение исходной окружности:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

2. Нахождение параметров симметричной окружности

Нам нужно найти окружность, симметричную исходной относительно прямой $y = -10$.

• При симметрии относительно прямой радиус окружности не изменяется, поэтому радиус новой окружности также будет равен $R = 5$.
• Центр новой окружности будет симметричен центру исходной окружности $O_1(3, -4)$ относительно прямой $y = -10$.

При симметрии точки $(x_0, y_0)$ относительно горизонтальной прямой $y = c$ ее новая координата $x_0$ остается неизменной, а новая координата $y'$ вычисляется по формуле $y' = 2c - y_0$.

В нашем случае, центр исходной окружности $(a, b) = (3, -4)$, а прямая симметрии $y = -10$, то есть $c = -10$.

Вычислим координаты нового центра $(a', b')$:

• $a' = a = 3$
• $b' = 2c - b = 2 \cdot (-10) - (-4) = -20 + 4 = -16$

Таким образом, центр новой, симметричной окружности, находится в точке $(3, -16)$.

3. Запись уравнения искомой окружности

Используя координаты нового центра $(3, -16)$ и радиус $R = 5$, запишем уравнение искомой окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-16))^2 = 5^2$

215. Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 16)^2 = 25$