Номер 206, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

206. В одной системе координат постройте графики функций $y = -x^2 + 6x - 5$ и $y = 4$. Найдите координаты их общей точки. Проверьте полученный результат.

Для решения задачи необходимо выполнить три последовательных шага: построить графики обеих функций, найти координаты их общей точки по чертежу и проверить полученный результат аналитически.

1. Построение графиков

а) Построение графика функции $y = -x^2 + 6x - 5$

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$

Для нахождения $y_0$, подставим значение $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(3, 4)$.

Найдем точки пересечения с осями координат для более точного построения:

• Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -0^2 + 6(0) - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$):
  $-x^2 + 6x - 5 = 0$
  $x^2 - 6x + 5 = 0$
  По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
  Точки пересечения с осью абсцисс: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

б) Построение графика функции $y = 4$

Графиком этой функции является прямая линия, которая параллельна оси OX и проходит через все точки, у которых ордината (координата y) равна 4.

2. Нахождение общей точки

При построении обоих графиков в одной системе координат видно, что прямая $y=4$ является касательной к параболе $y = -x^2 + 6x - 5$ в её вершине. Это означает, что графики имеют только одну общую точку. Координаты этой точки совпадают с координатами вершины параболы.

Ответ: Координаты общей точки $(3, 4)$.

3. Проверка результата

Для проверки правильности найденной точки решим систему уравнений аналитически. Общие точки двух графиков — это решения системы, состоящей из их уравнений:

$ \begin{cases} y = -x^2 + 6x - 5 \\ y = 4 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$-x^2 + 6x - 5 = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-x^2 + 6x - 5 - 4 = 0$

$-x^2 + 6x - 9 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 3)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 3$.

Ордината точки уже известна из второго уравнения системы: $y = 4$.

Таким образом, аналитическое решение подтверждает, что графики функций имеют одну общую точку с координатами $(3, 4)$.

Ответ: Полученный результат верен.