Номер 196, страница 285 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

196. Найдите множество значений функции:

а) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3;$

б) $y = 4(x - 1)^2 - 3;$

в) $y = -3x^2;$

г) $y = 4 - x^2;$

д) $y = -(x - 9)^2;$

е) $y = (2 - x)(x + 6).$

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{3}$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Множество значений функции будет иметь вид $[y_v, +\infty)$, где $y_v$ — ордината вершины.

Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -3$.
Ордината вершины (наименьшее значение функции):
$y_v = y(x_v) = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) + 3 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где вершина параболы находится в точке $(h, k)$. В данном случае $a = 4, h = 1, k = -3$.
Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение, равное ординате вершины.

Вершина параболы находится в точке $(1, -3)$. Наименьшее значение функции $y_v = -3$.

Ответ: $[-3, +\infty)$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -3 < 0$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
Следовательно, функция имеет наибольшее значение, равное 0.

Ответ: $(-\infty, 0]$.

Перепишем функцию в виде $y = -x^2 + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$).
Вершина этой параболы находится в точке $(0, 4)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: $(-\infty, 4]$.

Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1, h = 9, k = 0$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке $(9, 0)$.
Наибольшее значение функции равно 0.

Ответ: $(-\infty, 0]$.

Для нахождения множества значений приведем функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:
$y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$.

Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине.
Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -2$.
$y_v = y(x_v) = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$.
Наибольшее значение функции равно 16.

Ответ: $(-\infty, 16]$.