Номер 3, страница 207 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус круглого озера: $R = 1,50 \text{ км}$

Пройденная часть пути: $\frac{3}{4}$ окружности

Начальная точка: западная сторона озера

Направление движения: на юг (по часовой стрелке)

$R = 1,50 \text{ км} = 1500 \text{ м}$

Найти:

Пройденный путь $L$

Модуль перемещения $|\vec{s}|$

Решение:

1. Определение пути.

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории, по которой двигалось тело. В данном случае траектория – это дуга окружности.

Сначала найдем длину всей окружности озера по формуле:

$C = 2 \pi R$

Семья прошла три четверти пути вокруг озера, поэтому пройденный путь $L$ равен:

$L = \frac{3}{4} C = \frac{3}{4} \cdot 2 \pi R = \frac{3}{2} \pi R$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{3}{2} \cdot \pi \cdot 1,50 \text{ км} = 2,25\pi \text{ км} \approx 7,0686 \text{ км}$

С учетом значащих цифр (в исходных данных их три), округляем результат:

$L \approx 7,07 \text{ км}$

2. Определение перемещения.

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между начальной и конечной точками.

Для наглядности введем декартову систему координат, поместив ее начало $O(0;0)$ в центр озера. Ось $Ox$ направим на восток, а ось $Oy$ – на север.

Начальная точка движения $A$ находится на западной стороне озера. Ее координаты: $A(-R; 0)$.

Движение началось в сторону юга, то есть по часовой стрелке. Пройдя три четверти окружности (что соответствует повороту на угол $\frac{3}{4} \cdot 360^{\circ} = 270^{\circ}$ по часовой стрелке), семья окажется в конечной точке $B$.

Отсчитывая от западной точки $270^{\circ}$ по часовой стрелке, мы попадаем в северную точку озера. Ее координаты: $B(0; R)$.

Теперь найдем модуль перемещения $|\vec{s}|$ как расстояние между точками $A(-R; 0)$ и $B(0; R)$. Для этого рассмотрим треугольник $AOB$. Этот треугольник является прямоугольным, так как оси координат перпендикулярны, и равнобедренным, так как его катеты $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$.

По теореме Пифагора, гипотенуза $AB$ (модуль перемещения) равна:

$|\vec{s}| = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим числовые значения:

$|\vec{s}| = 1,50 \text{ км} \cdot \sqrt{2} \approx 1,50 \cdot 1,4142 \text{ км} \approx 2,1213 \text{ км}$

С учетом значащих цифр, округляем результат:

$|\vec{s}| \approx 2,12 \text{ км}$

Ответ: путь, который прошла семья, составляет примерно $7,07 \text{ км}$, а модуль перемещения равен примерно $2,12 \text{ км}$.