Номер 1078, страница 205 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная деформация пружины: $x_1 = 4,0 \text{ см} = 0,040 \text{ м}$
Конечная деформация пружины: $x_2 = 6,0 \text{ см} = 0,060 \text{ м}$
Совершенная работа: $A = 0,30 \text{ Дж}$

Найти:

Жесткость пружины: $k$

Решение:

Совершенная работа $A$ внешней силы при медленном надавливании на груз равна изменению полной механической энергии системы «груз-пружина». Процесс медленный, поэтому изменение кинетической энергии равно нулю. Изменение полной механической энергии $\Delta E$ равно сумме изменения потенциальной энергии упругости пружины $\Delta E_p$ и изменения гравитационной потенциальной энергии груза $\Delta E_g$.

$A = \Delta E = \Delta E_p + \Delta E_g$

Изменение потенциальной энергии пружины определяется как разность ее конечной и начальной потенциальных энергий: $ \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2} = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2) $ где $k$ – искомая жесткость пружины.

Изменение гравитационной потенциальной энергии груза зависит от изменения его высоты. При увеличении деформации от $x_1$ до $x_2$, груз опускается на расстояние $\Delta h = x_2 - x_1$. Так как груз движется вниз, его потенциальная энергия уменьшается: $ \Delta E_g = -mg\Delta h = -mg(x_2 - x_1) $

В начальном состоянии груз находится в равновесии под действием силы тяжести $mg$ и силы упругости пружины $F_{упр1}$. По второму закону Ньютона: $ mg = F_{упр1} = kx_1 $

Подставим это выражение для $mg$ в формулу для изменения гравитационной потенциальной энергии: $ \Delta E_g = -kx_1(x_2 - x_1) $

Теперь объединим все в уравнении для работы: $ A = \Delta E_p + \Delta E_g = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2) - kx_1(x_2 - x_1) $

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ и вынесем общий множитель $k(x_2 - x_1)$ за скобки: $ A = k(x_2 - x_1) \left[ \frac{1}{2}(x_2 + x_1) - x_1 \right] $ $ A = k(x_2 - x_1) \left( \frac{x_2 + x_1 - 2x_1}{2} \right) $ $ A = k(x_2 - x_1) \left( \frac{x_2 - x_1}{2} \right) $ $ A = \frac{k(x_2 - x_1)^2}{2} $

Из полученной формулы выразим жесткость пружины $k$: $ k = \frac{2A}{(x_2 - x_1)^2} $

Проведем вычисления, подставив числовые значения: $ k = \frac{2 \cdot 0,30 \text{ Дж}}{(0,060 \text{ м} - 0,040 \text{ м})^2} = \frac{0,60 \text{ Дж}}{(0,020 \text{ м})^2} = \frac{0,60 \text{ Дж}}{0,0004 \text{ м}^2} = 1500 \text{ Н/м} $

Ответ: жесткость пружины равна $1500 \text{ Н/м}$.