Номер 1071, страница 203 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса спортсмена: $m_1 = 70$ кг

Масса ядра: $m_2 = 10$ кг

Скорость ядра после толчка: $v_2 = 8,0$ м/с

Угол, под которым было брошено ядро: $\alpha = 30^\circ$

Конечная скорость спортсмена: $v'_1 = 0$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу, совершенную спортсменом: $A$

Решение:

Работа, совершенная спортсменом, равна изменению полной кинетической энергии системы «спортсмен + ядро». Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа $A$ равна разности конечной и начальной кинетической энергии системы:

$A = E_{к, кон} - E_{к, нач}$

Сначала найдем начальную скорость $v$ системы «спортсмен + ядро». Для этого воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Предполагаем, что толчок происходит так быстро, что внешними силами (трением) можно пренебречь.

Начальный импульс системы (до толчка) в проекции на горизонтальную ось:

$p_{нач} = (m_1 + m_2)v$

После толчка спортсмен останавливается ($v'_1 = 0$), а ядро движется со скоростью $v_2$ под углом $\alpha$ к горизонту. Горизонтальная составляющая скорости ядра равна $v_{2x} = v_2 \cos\alpha$.

Конечный импульс системы в проекции на горизонтальную ось:

$p_{кон} = m_1 v'_1 + m_2 v_{2x} = 0 + m_2 v_2 \cos\alpha = m_2 v_2 \cos\alpha$

Приравниваем начальный и конечный импульсы:

$(m_1 + m_2)v = m_2 v_2 \cos\alpha$

Отсюда выражаем начальную скорость $v$:

$v = \frac{m_2 v_2 \cos\alpha}{m_1 + m_2}$

Теперь найдем начальную и конечную кинетические энергии системы.

Начальная кинетическая энергия:

$E_{к, нач} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

Подставим в это выражение найденную скорость $v$:

$E_{к, нач} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_2 v_2 \cos\alpha}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{(m_1 + m_2) m_2^2 v_2^2 \cos^2\alpha}{2 (m_1 + m_2)^2} = \frac{m_2^2 v_2^2 \cos^2\alpha}{2 (m_1 + m_2)}$

Конечная кинетическая энергия системы — это сумма кинетических энергий спортсмена и ядра после толчка:

$E_{к, кон} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Так как $v'_1 = 0$, конечная энергия равна:

$E_{к, кон} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Теперь можем найти работу $A$:

$A = E_{к, кон} - E_{к, нач} = \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{m_2^2 v_2^2 \cos^2\alpha}{2(m_1 + m_2)}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$A = \frac{m_2 v_2^2}{2} \left( 1 - \frac{m_2 \cos^2\alpha}{m_1 + m_2} \right)$

Подставим числовые значения. Учтем, что $\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\cos^2 30^\circ = \frac{3}{4} = 0,75$.

$A = \frac{10 \cdot (8,0)^2}{2} \left( 1 - \frac{10 \cdot 0,75}{70 + 10} \right) = \frac{10 \cdot 64}{2} \left( 1 - \frac{7,5}{80} \right)$

$A = 320 \left( 1 - 0,09375 \right) = 320 \cdot 0,90625 = 290$ Дж

Ответ: работа, совершенная спортсменом, равна $290$ Дж.