Номер 1076, страница 204 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 100 \text{ г}$
$l = 40 \text{ см}$
$\alpha = 60^\circ$

$m = 0.1 \text{ кг}$
$l = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$A$ - работа по раскручиванию.

Решение:

Работа по раскручиванию шарика равна изменению его полной механической энергии. Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. В данном случае работа $A$ совершается внешней силой для раскручивания, а работа силы тяжести и силы натяжения нити изменяют механическую энергию. Проще воспользоваться законом сохранения энергии: работа внешней силы идет на изменение полной механической энергии системы.

$A = \Delta E = E_{конечн} - E_{начальн}$

В начальном состоянии шарик висит неподвижно. Примем это положение за нулевой уровень потенциальной энергии. Таким образом, начальная кинетическая и потенциальная энергии равны нулю.

$E_{начальн} = E_{k_0} + E_{п_0} = 0 + 0 = 0$

В конечном состоянии шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости, при этом нить образует угол $\alpha$ с вертикалью. Конечная энергия складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_п$.

$E_{конечн} = E_k + E_п$

Найдем высоту $h$, на которую поднялся шарик. Из геометрии видно, что $h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Тогда потенциальная энергия в конечном состоянии равна:

$E_п = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$

Для нахождения кинетической энергии $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ нужно определить скорость шарика $v$. Рассмотрим силы, действующие на шарик: сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Горизонтальная ось направлена к центру окружности.

Вертикальная ось (ось Y): $T\cos\alpha - mg = 0 \implies T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Горизонтальная ось (ось X): $T\sin\alpha = ma_c$, где $a_c = \frac{v^2}{r}$ — центростремительное ускорение.

Радиус окружности $r$ равен $r = l\sin\alpha$.

Подставим $T$ и $r$ в уравнение для горизонтальной оси:

$\frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha = \frac{mv^2}{l\sin\alpha}$

$mg\tan\alpha = \frac{mv^2}{l\sin\alpha}$

Выразим квадрат скорости $v^2$:

$v^2 = \frac{gl\sin\alpha\tan\alpha}{1} = gl\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$

Теперь можем найти кинетическую энергию:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(gl\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = \frac{mgl\sin^2\alpha}{2\cos\alpha}$

Работа по раскручиванию равна сумме конечных потенциальной и кинетической энергий:

$A = E_п + E_k = mgl(1 - \cos\alpha) + \frac{mgl\sin^2\alpha}{2\cos\alpha}$

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$\sin^2(60^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0.75$

$A = 0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.4 \cdot (1 - 0.5) + \frac{0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.4 \cdot 0.75}{2 \cdot 0.5}$

$A = 0.392 \cdot 0.5 + \frac{0.294}{1}$

$A = 0.196 + 0.294 = 0.49 \text{ Дж}$

Ответ: $A = 0.49 \text{ Дж}$.