Номер 1069, страница 203 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 250 \text{ г}$

$k = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$F = 3,0 \text{ Н}$

$v_0 = 0$

$x_0 = 0$

$\mu = 0,4$ (для случая б)

Примем $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в СИ:

$m = 0,25 \text{ кг}$

Найти:

а) $x_{\text{max_a}}$, $v_{\text{max_a}}$

б) $x_{\text{max_b}}$, $v_{\text{max_b}}$

Решение:

а) пол гладкий;

Для определения максимальной деформации пружины $x_{\text{max_a}}$ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии ($A_{\text{общ}} = \Delta E_k$). В начальный момент ($x=0$) и в момент максимального растяжения ($x=x_{\text{max_a}}$) скорость бруска равна нулю, следовательно, изменение кинетической энергии $\Delta E_k = 0$.

Работа совершается внешней силой $F$ и силой упругости пружины $F_{\text{упр}}$. Работа силы трения равна нулю.Работа внешней силы: $A_F = F \cdot x_{\text{max_a}}$.Работа силы упругости: $A_{\text{упр}} = -\frac{k x_{\text{max_a}}^2}{2}$.

Суммарная работа равна нулю:$A_F + A_{\text{упр}} = 0$$F \cdot x_{\text{max_a}} - \frac{k x_{\text{max_a}}^2}{2} = 0$$x_{\text{max_a}} \cdot (F - \frac{k x_{\text{max_a}}}{2}) = 0$Так как нас интересует ненулевое решение, получаем:$F - \frac{k x_{\text{max_a}}}{2} = 0 \implies x_{\text{max_a}} = \frac{2F}{k}$$x_{\text{max_a}} = \frac{2 \cdot 3,0 \text{ Н}}{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0,06 \text{ м} = 6 \text{ см}$.

Максимальная скорость $v_{\text{max_a}}$ достигается в точке, где ускорение бруска равно нулю, то есть где равнодействующая сил равна нулю.$F - F_{\text{упр}} = 0 \implies F = kx_1$Координата $x_1$, в которой скорость максимальна:$x_1 = \frac{F}{k} = \frac{3,0 \text{ Н}}{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0,03 \text{ м}$.

Применим теорему об изменении кинетической энергии для перемещения из $x=0$ в $x=x_1$:$\Delta E_k = \frac{m v_{\text{max_a}}^2}{2} - 0$$A_{\text{общ}} = A_F + A_{\text{упр}} = F \cdot x_1 - \frac{k x_1^2}{2}$$\frac{m v_{\text{max_a}}^2}{2} = F \cdot x_1 - \frac{k x_1^2}{2}$Подставим $x_1 = \frac{F}{k}$:$\frac{m v_{\text{max_a}}^2}{2} = F \cdot \frac{F}{k} - \frac{k}{2} (\frac{F}{k})^2 = \frac{F^2}{k} - \frac{F^2}{2k} = \frac{F^2}{2k}$$v_{\text{max_a}}^2 = \frac{F^2}{mk} \implies v_{\text{max_a}} = \frac{F}{\sqrt{mk}}$$v_{\text{max_a}} = \frac{3,0 \text{ Н}}{\sqrt{0,25 \text{ кг} \cdot 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} = \frac{3,0}{\sqrt{25}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: Максимальная деформация пружины 6 см, максимальная скорость бруска 0,6 м/с.

б) коэффициент трения бруска по полу μ = 0,4;

В этом случае на брусок дополнительно действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}$, направленная против движения. Её работа $A_{\text{тр}}$ отрицательна.Модуль силы трения:$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g = 0,4 \cdot 0,25 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1,0 \text{ Н}$.

Для определения максимальной деформации $x_{\text{max_b}}$ снова используем теорему об изменении кинетической энергии от $x=0, v=0$ до $x=x_{\text{max_b}}, v=0$, где $\Delta E_k = 0$.$A_{\text{общ}} = A_F + A_{\text{упр}} + A_{\text{тр}} = 0$$F \cdot x_{\text{max_b}} - \frac{k x_{\text{max_b}}^2}{2} - F_{\text{тр}} \cdot x_{\text{max_b}} = 0$$(F - F_{\text{тр}})x_{\text{max_b}} - \frac{k x_{\text{max_b}}^2}{2} = 0$$x_{\text{max_b}} (F - F_{\text{тр}} - \frac{k x_{\text{max_b}}}{2}) = 0$Ненулевое решение:$x_{\text{max_b}} = \frac{2(F - F_{\text{тр}})}{k} = \frac{2(3,0 \text{ Н} - 1,0 \text{ Н})}{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{4,0}{100} \text{ м} = 0,04 \text{ м} = 4 \text{ см}$.

Максимальная скорость $v_{\text{max_b}}$ достигается, когда равнодействующая сил равна нулю:$F - F_{\text{упр}} - F_{\text{тр}} = 0$Координата $x_2$, где скорость максимальна:$x_2 = \frac{F - F_{\text{тр}}}{k} = \frac{3,0 \text{ Н} - 1,0 \text{ Н}}{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0,02 \text{ м}$.

Применим теорему об изменении кинетической энергии для перемещения от $x=0$ до $x=x_2$:$\Delta E_k = \frac{m v_{\text{max_b}}^2}{2}$$A_{\text{общ}} = F \cdot x_2 - \frac{k x_2^2}{2} - F_{\text{тр}} \cdot x_2 = (F - F_{\text{тр}})x_2 - \frac{k x_2^2}{2}$$\frac{m v_{\text{max_b}}^2}{2} = (F - F_{\text{тр}})x_2 - \frac{k x_2^2}{2}$Подставим $x_2 = \frac{F - F_{\text{тр}}}{k}$:$\frac{m v_{\text{max_b}}^2}{2} = (F - F_{\text{тр}})\frac{F - F_{\text{тр}}}{k} - \frac{k}{2}\left(\frac{F - F_{\text{тр}}}{k}\right)^2 = \frac{(F - F_{\text{тр}})^2}{k} - \frac{(F - F_{\text{тр}})^2}{2k} = \frac{(F - F_{\text{тр}})^2}{2k}$$v_{\text{max_b}}^2 = \frac{(F - F_{\text{тр}})^2}{mk} \implies v_{\text{max_b}} = \frac{F - F_{\text{тр}}}{\sqrt{mk}}$$v_{\text{max_b}} = \frac{2,0 \text{ Н}}{\sqrt{0,25 \text{ кг} \cdot 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} = \frac{2,0}{5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: Максимальная деформация пружины 4 см, максимальная скорость бруска 0,4 м/с.