Номер 1062, страница 202 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первой частицы: $m_1 = m$

Масса второй частицы: $m_2 = 2m$

Модуль начального импульса первой частицы: $p_1 = p$

Модуль начального импульса второй частицы: $p_2 = \frac{p}{2}$

Модуль конечного импульса первой частицы: $p'_1 = \frac{p}{2}$

Модуль конечного импульса второй частицы: $p'_2 = p$

Найти:

Величину потерянной механической энергии: $\Delta E$

Решение:

Потерянная механическая энергия $\Delta E$ при соударении равна разности суммарной кинетической энергии частиц до соударения и после него.

Кинетическая энергия $E_k$ частицы связана с её массой $m$ и модулем импульса $p$ соотношением: $E_k = \frac{p^2}{2m}$.

1. Вычислим суммарную кинетическую энергию системы до соударения ($E_{нач}$). Она складывается из кинетических энергий двух частиц:

Кинетическая энергия первой частицы до соударения:

$E_{k1} = \frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p^2}{2m}$

Кинетическая энергия второй частицы до соударения:

$E_{k2} = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{(\frac{p}{2})^2}{2 \cdot (2m)} = \frac{\frac{p^2}{4}}{4m} = \frac{p^2}{16m}$

Суммарная начальная энергия:

$E_{нач} = E_{k1} + E_{k2} = \frac{p^2}{2m} + \frac{p^2}{16m} = \frac{8p^2}{16m} + \frac{p^2}{16m} = \frac{9p^2}{16m}$

2. Вычислим суммарную кинетическую энергию системы после соударения ($E_{кон}$). Частицы обменялись импульсами, поэтому:

Кинетическая энергия первой частицы после соударения:

$E'_{k1} = \frac{{p'}_1^2}{2m_1} = \frac{(\frac{p}{2})^2}{2m} = \frac{\frac{p^2}{4}}{2m} = \frac{p^2}{8m}$

Кинетическая энергия второй частицы после соударения:

$E'_{k2} = \frac{{p'}_2^2}{2m_2} = \frac{p^2}{2 \cdot (2m)} = \frac{p^2}{4m}$

Суммарная конечная энергия:

$E_{кон} = E'_{k1} + E'_{k2} = \frac{p^2}{8m} + \frac{p^2}{4m} = \frac{p^2}{8m} + \frac{2p^2}{8m} = \frac{3p^2}{8m}$

3. Найдем величину потерянной механической энергии как разность начальной и конечной энергий:

$\Delta E = E_{нач} - E_{кон} = \frac{9p^2}{16m} - \frac{3p^2}{8m}$

Приводя к общему знаменателю $16m$, получаем:

$\Delta E = \frac{9p^2}{16m} - \frac{2 \cdot 3p^2}{16m} = \frac{9p^2 - 6p^2}{16m} = \frac{3p^2}{16m}$

Информация о том, что частицы двигались по взаимно перпендикулярным направлениям, не требуется для нахождения изменения скалярной величины — энергии, так как в задаче явно указаны модули импульсов до и после столкновения.

Ответ: $\Delta E = \frac{3p^2}{16m}$