Номер 1068, страница 203 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса кубика $m = 0,99$ кг
Масса пули $m_0 = 10$ г
Начальная скорость пули $v_0 = 200$ м/с
Радиус полусферы $R = 1,00$ м

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 10 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}$

Найти:

Высоту отрыва кубика от поверхности $h$.

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа. Первый этап — абсолютно неупругий удар пули и кубика, в результате которого они приобретают начальную скорость. Второй этап — соскальзывание кубика с пулей по поверхности полусферы до момента отрыва.

1. Найдем скорость кубика с пулей сразу после удара.

Поскольку удар происходит по горизонтали и мы пренебрегаем смещением кубика за время удара, мы можем применить закон сохранения импульса для системы "пуля + кубик" в проекции на горизонтальную ось. Импульс системы до удара равен импульсу пули $p_{\text{до}} = m_0 v_0$. После удара пуля застревает в кубике, и они движутся вместе как единое целое со скоростью $u$. Их суммарный импульс $p_{\text{после}} = (m + m_0) u$.

Из закона сохранения импульса $p_{\text{до}} = p_{\text{после}}$:

$m_0 v_0 = (m + m_0) u$

Отсюда выражаем скорость $u$:

$u = \frac{m_0 v_0}{m + m_0}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 200 \text{ м/с}}{0,99 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}} = \frac{2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1,00 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}$

2. Найдем высоту отрыва.

Кубик с пулей начинает движение с вершины полусферы (начальная высота $R$) с горизонтальной скоростью $u$. Он оторвется от поверхности в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры $N$ станет равной нулю. Поскольку поверхность гладкая, трение отсутствует, и полная механическая энергия системы сохраняется. За нулевой уровень потенциальной энергии примем основание полусферы.

Запишем закон сохранения энергии. Энергия в начальный момент (на вершине):

$E_{\text{нач}} = \frac{(m+m_0)u^2}{2} + (m+m_0)gR$

Энергия в момент отрыва на высоте $h$ при скорости $v$:

$E_{\text{кон}} = \frac{(m+m_0)v^2}{2} + (m+m_0)gh$

Приравнивая энергии и сокращая на массу $(m+m_0)$:

$\frac{u^2}{2} + gR = \frac{v^2}{2} + gh$ (1)

Теперь используем условие отрыва. В момент отрыва сила реакции опоры $N = 0$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление, направленное к центру сферы. Пусть $\alpha$ — угол между вертикалью и положением тела. Тогда радиальная составляющая силы тяжести равна $(m+m_0)g\cos\alpha$, и она сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = v^2/R$.

$(m+m_0)g\cos\alpha - N = \frac{(m+m_0)v^2}{R}$

При $N=0$ и после сокращения на массу получаем:

$g\cos\alpha = \frac{v^2}{R}$

Высота $h$ связана с углом как $h = R\cos\alpha$. Подставив это, найдем связь скорости и высоты в момент отрыва:

$g\frac{h}{R} = \frac{v^2}{R} \implies v^2 = gh$ (2)

Подставим выражение для $v^2$ из (2) в уравнение сохранения энергии (1):

$\frac{u^2}{2} + gR = \frac{gh}{2} + gh = \frac{3}{2}gh$

Домножим обе части на 2:

$u^2 + 2gR = 3gh$

Отсюда выражаем искомую высоту $h$:

$h = \frac{u^2 + 2gR}{3g} = \frac{u^2}{3g} + \frac{2R}{3}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$h = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} + \frac{2 \cdot 1,00 \text{ м}}{3} = \frac{4}{30} \text{ м} + \frac{2}{3} \text{ м} = \frac{2}{15} \text{ м} + \frac{10}{15} \text{ м} = \frac{12}{15} \text{ м} = 0,8 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой кубик оторвется от поверхности полусферы, составляет $h = 0,8 \text{ м}$.