Номер 1067, страница 202 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса бруска $m = 90 \text{ г} = 0,09 \text{ кг}$

Масса пули $m_0 = 10 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}$

Жесткость пружины $k = 4,0 \frac{\text{кН}}{\text{м}} = 4000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Начальная скорость пули $v_0 = 100 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Максимальная деформация пружины $x_{max}$

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. Первый этап — абсолютно неупругое соударение пули и бруска. Второй этап — движение системы «брусок с пулей» и сжатие пружины до максимальной деформации.

1. Рассмотрим соударение. Так как оно происходит за очень малый промежуток времени, изменением положения бруска и действием силы упругости пружины можно пренебречь. Для системы «пуля + брусок» в горизонтальном направлении выполняется закон сохранения импульса. Пусть $u$ — скорость бруска с застрявшей в нем пулей сразу после соударения.

Импульс системы до соударения: $p_1 = m_0 v_0$ (брусок покоится).

Импульс системы после соударения: $p_2 = (m_0 + m) u$.

Согласно закону сохранения импульса: $p_1 = p_2$, откуда $m_0 v_0 = (m_0 + m) u$.

Выразим скорость $u$:

$u = \frac{m_0 v_0}{m_0 + m} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 100 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{0,01 \text{ кг} + 0,09 \text{ кг}} = \frac{1 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}}{0,1 \text{ кг}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Рассмотрим второй этап. После соударения система «брусок с пулей» обладает кинетической энергией и, двигаясь, сжимает пружину. В этом процессе, так как поверхность гладкая (трения нет), полная механическая энергия системы «брусок с пулей + пружина» сохраняется.

В начальный момент (сразу после соударения) система имеет максимальную кинетическую энергию, а пружина не деформирована, поэтому ее потенциальная энергия равна нулю:

$E_1 = E_{k} = \frac{(m_0 + m) u^2}{2}$

В конечный момент, когда деформация пружины максимальна ($x = x_{max}$), скорость системы становится равной нулю. Кинетическая энергия обращается в ноль, а потенциальная энергия пружины максимальна:

$E_2 = E_{p} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии: $E_1 = E_2$.

$\frac{(m_0 + m) u^2}{2} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

Отсюда выразим максимальную деформацию $x_{max}$:

$(m_0 + m) u^2 = k x_{max}^2$

$x_{max} = \sqrt{\frac{(m_0 + m) u^2}{k}} = u \sqrt{\frac{m_0 + m}{k}}$

Подставим числовые значения:

$x_{max} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{\frac{0,01 \text{ кг} + 0,09 \text{ кг}}{4000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{0,1}{4000}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{1}{40000}} = 10 \cdot \frac{1}{200} = 0,05 \text{ м}$

Максимальная деформация пружины составляет 0,05 м или 5 см.

Ответ: $x_{max} = 0,05 \text{ м}$.