Номер 1064, страница 202 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_0 = 250 \text{ г}$

$m = 10 \text{ г}$

$l = 50 \text{ см}$

$m_0 = 0.25 \text{ кг}$
$m = 0.01 \text{ кг}$
$l = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа:1. Абсолютно неупругое соударение пули и шара.2. Движение шара с застрявшей в нем пулей по окружности в вертикальной плоскости.

Рассмотрим второй этап. Чтобы шар с пулей совершил полный оборот, он должен достичь верхней точки траектории, не сорвавшись. Минимальная скорость в верхней точке соответствует случаю, когда сила натяжения нити $T$ становится равной нулю. В этот момент единственной силой, сообщающей телу центростремительное ускорение, является сила тяжести.

Пусть $M = m_0 + m$ — суммарная масса шара и пули, а $v_{top}$ — скорость в верхней точке окружности. Запишем второй закон Ньютона для верхней точки:

$T + Mg = \frac{Mv_{top}^2}{l}$

Условие минимальной скорости соответствует $T = 0$:

$Mg = \frac{Mv_{top,min}^2}{l}$

Отсюда находим минимальную скорость в верхней точке:

$v_{top,min} = \sqrt{gl}$

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы "шар с пулей" при ее движении от нижней точки (сразу после столкновения) до верхней. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение шара в нижней точке.

Энергия в нижней точке (скорость $U$): $E_{bottom} = \frac{MU^2}{2}$

Энергия в верхней точке (на высоте $h = 2l$): $E_{top} = \frac{Mv_{top}^2}{2} + Mg(2l)$

По закону сохранения энергии $E_{bottom} = E_{top}$:

$\frac{MU^2}{2} = \frac{Mv_{top}^2}{2} + 2Mgl$

Чтобы найти минимальную скорость $U_{min}$ в нижней точке, подставим в это уравнение значение $v_{top,min}$:

$\frac{MU_{min}^2}{2} = \frac{M(\sqrt{gl})^2}{2} + 2Mgl = \frac{Mgl}{2} + 2Mgl = \frac{5}{2}Mgl$

Отсюда минимальная скорость системы "шар-пуля" сразу после столкновения:

$U_{min} = \sqrt{5gl}$

Теперь рассмотрим первый этап — соударение. Так как столкновение происходит очень быстро, можно считать систему "пуля-шар" замкнутой и применить закон сохранения импульса для горизонтальной оси. Столкновение является абсолютно неупругим.

Импульс системы до столкновения (летит только пуля со скоростью $v$): $p_{before} = mv$

Импульс системы после столкновения (шар и пуля движутся вместе со скоростью $U$): $p_{after} = (m_0+m)U = MU$

По закону сохранения импульса $p_{before} = p_{after}$:

$mv = MU$

Чтобы найти минимальную скорость пули $v_{min}$, нужно, чтобы система после столкновения имела скорость $U_{min}$:

$mv_{min} = MU_{min}$

$v_{min} = \frac{M}{m}U_{min} = \frac{m_0+m}{m}U_{min}$

Подставим выражение для $U_{min}$:

$v_{min} = \frac{m_0+m}{m}\sqrt{5gl}$

Теперь подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$v_{min} = \frac{0.25 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг}}{0.01 \text{ кг}}\sqrt{5 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{0.26}{0.01}\sqrt{25} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 26 \cdot 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 130 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Минимальная скорость пули должна быть 130 м/с.