Номер 1059, страница 201 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = 2m$

Начальные скорости шаров взаимно перпендикулярны: $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$

Модули начальных скоростей равны: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$

Конечная скорость первого шара: $u_1 = 0$

Найти:

Какая часть начальной кинетической энергии перешла в теплоту: $\frac{Q}{E_{k, нач}}$?

Решение:

Столкновение шаров является неупругим, так как часть кинетической энергии переходит в теплоту (это следует из вопроса). Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, так как система шаров является замкнутой.

Введем прямоугольную систему координат. Направим ось Оx вдоль начальной скорости первого шара ($\vec{v_1}$), а ось Оy — вдоль начальной скорости второго шара ($\vec{v_2}$). В этой системе координат векторы начальных скоростей будут иметь следующие компоненты:

$\vec{v_1} = (v, 0)$

$\vec{v_2} = (0, v)$

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2}$

где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — скорости шаров после столкновения.

Согласно условию задачи, после столкновения шар меньшей массы ($m_1 = m$) остановился, то есть его конечная скорость $\vec{u_1} = 0$. Подставим известные значения в закон сохранения импульса:

$m\vec{v_1} + 2m\vec{v_2} = m \cdot 0 + 2m\vec{u_2}$

$m\vec{v_1} + 2m\vec{v_2} = 2m\vec{u_2}$

Разделив обе части уравнения на $2m$, выразим вектор конечной скорости второго шара $\vec{u_2}$:

$\vec{u_2} = \frac{1}{2}\vec{v_1} + \vec{v_2}$

Найдем проекции скорости $\vec{u_2}$ на оси координат:

Проекция на ось Ox: $u_{2x} = \frac{1}{2}v_{1x} + v_{2x} = \frac{1}{2}v + 0 = \frac{v}{2}$

Проекция на ось Oy: $u_{2y} = \frac{1}{2}v_{1y} + v_{2y} = 0 + v = v$

Теперь найдем квадрат модуля скорости второго шара после столкновения, используя теорему Пифагора:

$u_2^2 = u_{2x}^2 + u_{2y}^2 = (\frac{v}{2})^2 + v^2 = \frac{v^2}{4} + v^2 = \frac{5}{4}v^2$

Вычислим начальную кинетическую энергию системы шаров (до столкновения):

$E_{k, нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{2m v^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + m v^2 = \frac{3}{2}m v^2$

Вычислим конечную кинетическую энергию системы шаров (после столкновения). Так как первый шар остановился, его кинетическая энергия равна нулю. Конечная энергия системы равна кинетической энергии второго шара:

$E_{k, кон} = \frac{m_2 u_2^2}{2} = \frac{2m}{2} \cdot u_2^2 = m \cdot (\frac{5}{4}v^2) = \frac{5}{4}m v^2$

Количество теплоты $Q$, выделившееся при ударе, равно убыли кинетической энергии системы (согласно закону сохранения энергии):

$Q = E_{k, нач} - E_{k, кон} = \frac{3}{2}m v^2 - \frac{5}{4}m v^2 = \frac{6}{4}m v^2 - \frac{5}{4}m v^2 = \frac{1}{4}m v^2$

Чтобы найти, какая часть начальной кинетической энергии перешла в теплоту, найдем отношение $Q$ к $E_{k, нач}$:

$\frac{Q}{E_{k, нач}} = \frac{\frac{1}{4}m v^2}{\frac{3}{2}m v^2} = \frac{1/4}{3/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $1/6$ часть начальной кинетической энергии шаров перешла в теплоту.