Номер 1057, страница 201 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса бруска: $m_1$

Скорость бруска: $\vec{v_1}$

Масса пули: $m_2$

Скорость пули: $\vec{v_2}$

Условие: $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$

Найти:

Количество выделившейся теплоты: $Q$

Решение:

Количество теплоты $Q$, выделившееся при неупругом столкновении пули и бруска, равно убыли кинетической энергии системы "брусок-пуля".

$Q = E_{k_{нач}} - E_{k_{кон}}$

Кинетическая энергия системы до столкновения складывается из кинетических энергий бруска и пули:

$E_{k_{нач}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

После столкновения пуля застревает в бруске, и они движутся вместе как единое целое с общей скоростью $\vec{u}$. Масса этой системы равна $M = m_1 + m_2$.

Кинетическая энергия системы после столкновения:

$E_{k_{кон}} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Для нахождения скорости $\vec{u}$ воспользуемся законом сохранения импульса для системы "брусок-пуля". Поскольку поверхность гладкая, внешние силы в горизонтальной плоскости отсутствуют, и импульс системы сохраняется.

$\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1 + m_2)\vec{u}$

Отсюда вектор конечной скорости:

$\vec{u} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}}{m_1 + m_2}$

Найдем квадрат модуля конечной скорости $u^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$:

$u^2 = \left(\frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}}{m_1 + m_2}\right) \cdot \left(\frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}}{m_1 + m_2}\right) = \frac{(m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2})^2}{(m_1 + m_2)^2}$

Раскроем скалярный квадрат в числителе:

$(m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2})^2 = (m_1\vec{v_1})^2 + 2(m_1\vec{v_1} \cdot m_2\vec{v_2}) + (m_2\vec{v_2})^2 = m_1^2 v_1^2 + 2m_1m_2(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) + m_2^2 v_2^2$

По условию векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.

Тогда:

$u^2 = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2}{(m_1 + m_2)^2}$

Теперь можем найти конечную кинетическую энергию:

$E_{k_{кон}} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \cdot u^2 = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \cdot \frac{m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

Наконец, вычислим количество выделившейся теплоты:

$Q = E_{k_{нач}} - E_{k_{кон}} = \left(\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\right) - \frac{m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приведем к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:

$Q = \frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$Q = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

Сократим подобные слагаемые:

$Q = \frac{m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

Вынесем общий множитель $m_1 m_2$ за скобки:

$Q = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$

Ответ: $Q = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$