Номер 1058, страница 201 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Масса второго шара: $m_2$

Скорость первого шара: $\vec{v}_1$

Скорость второго шара: $\vec{v}_2$

Шары одинаковые: $m_1 = m_2 = m$

Направления скоростей взаимно перпендикулярны: $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$

Модули скоростей отличаются в 2 раза: пусть $| \vec{v}_1 | = v$, тогда $| \vec{v}_2 | = 2v$

Столкновение абсолютно неупругое.

Найти:

Какая часть начальной кинетической энергии перешла в теплоту, $\eta = \frac{Q}{K_{до}}$?

Решение:

Обозначим массу каждого шара как $m$. Пусть скорость одного шара $v_1 = v$, а скорость второго шара $v_2 = 2v$.

Поскольку шары движутся по взаимно перпендикулярным направлениям, выберем систему координат так, чтобы ось $OX$ совпадала с направлением движения первого шара, а ось $OY$ — с направлением движения второго шара. Тогда векторы скоростей до столкновения будут иметь координаты:

$\vec{v}_1 = (v, 0)$

$\vec{v}_2 = (0, 2v)$

Кинетическая энергия системы шаров до столкновения ($K_{до}$) равна сумме кинетических энергий каждого шара:

$K_{до} = K_1 + K_2 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Подставим наши значения:

$K_{до} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m (2v)^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{4mv^2}{2} = \frac{5mv^2}{2}$

Столкновение является абсолютно неупругим, это означает, что после столкновения шары слипаются и движутся вместе как одно целое. При таком столкновении выполняется закон сохранения импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию (теплоту).

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{u}$

где $\vec{u}$ — скорость шаров после столкновения.

$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = 2m \vec{u}$

Отсюда можно выразить вектор скорости после столкновения:

$\vec{u} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$

Найдем проекции скорости $\vec{u}$ на оси координат:

$u_x = \frac{v_1}{2} = \frac{v}{2}$

$u_y = \frac{v_2}{2} = \frac{2v}{2} = v$

Теперь найдем квадрат модуля скорости после столкновения, используя теорему Пифагора:

$u^2 = u_x^2 + u_y^2 = (\frac{v}{2})^2 + v^2 = \frac{v^2}{4} + v^2 = \frac{5v^2}{4}$

Кинетическая энергия системы после столкновения ($K_{после}$) равна:

$K_{после} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \frac{2m u^2}{2} = m u^2$

Подставим найденное значение $u^2$:

$K_{после} = m \cdot \frac{5v^2}{4} = \frac{5mv^2}{4}$

Количество теплоты $Q$, выделившееся при столкновении, равно потере кинетической энергии системы:

$Q = K_{до} - K_{после} = \frac{5mv^2}{2} - \frac{5mv^2}{4} = \frac{10mv^2 - 5mv^2}{4} = \frac{5mv^2}{4}$

Чтобы найти, какая часть начальной кинетической энергии перешла в теплоту, нужно найти отношение $Q$ к $K_{до}$:

$\eta = \frac{Q}{K_{до}} = \frac{\frac{5mv^2}{4}}{\frac{5mv^2}{2}} = \frac{5mv^2}{4} \cdot \frac{2}{5mv^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, половина начальной кинетической энергии системы перешла в теплоту.

Ответ: $1/2$ или 50% начальной кинетической энергии переходит в теплоту.