Номер 1060, страница 201 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение масс шариков: $m_1/m_2 = 1/3$.
Длины нитей одинаковы: $L_1 = L_2 = L$.
Углы отклонения одинаковы: $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$.
Удар абсолютно неупругий.

Найти:

Часть механической энергии, перешедшей в теплоту: $\eta = Q / E_{\text{мех}}$

Решение:

1. Начальная механическая энергия системы. Перед тем как шарики отпускают, они находятся на некоторой высоте $h$ относительно положения равновесия. Так как длины нитей $L$ и углы отклонения $\alpha$ одинаковы, то и высота подъема для обоих шариков будет одинаковой: $h = L(1 - \cos\alpha)$. Полная механическая энергия системы в начальный момент времени равна сумме потенциальных энергий шариков:

$E_{\text{мех}} = m_1gh + m_2gh = (m_1 + m_2)gh$.

2. Скорость шариков перед столкновением. По закону сохранения энергии для каждого шарика, при движении к положению равновесия вся их начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую. Следовательно, в момент перед столкновением:

Для первого шарика: $m_1gh = \frac{1}{2}m_1v_1^2 \implies v_1 = \sqrt{2gh}$.
Для второго шарика: $m_2gh = \frac{1}{2}m_2v_2^2 \implies v_2 = \sqrt{2gh}$.

Таким образом, скорости шариков перед ударом равны по модулю: $v_1 = v_2 = v$. Они направлены навстречу друг другу. Суммарная кинетическая энергия системы непосредственно перед ударом равна начальной механической энергии:

$E_k = \frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}m_2v^2 = (m_1+m_2)gh = E_{\text{мех}}$.

3. Столкновение. Удар является абсолютно неупругим, значит, после столкновения шарики слипаются и движутся как единое целое с некоторой скоростью $u$. Для нахождения этой скорости применим закон сохранения импульса. Выберем положительное направление оси ОХ в сторону движения первого шарика.

Импульс системы до удара: $P_{\text{до}} = m_1v - m_2v = (m_1 - m_2)v$.
Импульс системы после удара: $P_{\text{после}} = (m_1 + m_2)u$.

По закону сохранения импульса $P_{\text{до}} = P_{\text{после}}$:

$(m_1 - m_2)v = (m_1 + m_2)u$.

Отсюда находим скорость шариков после удара:

$u = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v$.

4. Энергия после столкновения. Кинетическая энергия системы после удара равна:

$E'_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)u^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v\right)^2 = \frac{1}{2}\frac{(m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2}v^2$.

5. Потеря энергии. Количество теплоты $Q$, выделившееся при ударе, равно изменению (уменьшению) кинетической энергии системы:

$Q = E_k - E'_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 - \frac{1}{2}\frac{(m_1 - m_2)^2}{m_1 + m_2}v^2$.

Вынесем общие множители:

$Q = \frac{v^2}{2(m_1 + m_2)} \left[ (m_1 + m_2)^2 - (m_1 - m_2)^2 \right]$.

Используя формулу разности квадратов, упростим выражение в скобках: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

$(m_1 + m_2)^2 - (m_1 - m_2)^2 = 4m_1m_2$.

Тогда количество выделившейся теплоты равно:

$Q = \frac{v^2}{2(m_1 + m_2)} (4m_1m_2) = \frac{2m_1m_2v^2}{m_1 + m_2}$.

6. Искомая доля энергии. Найдём отношение выделившейся теплоты $Q$ к начальной механической энергии системы $E_{\text{мех}} = E_k$.

$\eta = \frac{Q}{E_k} = \frac{\frac{2m_1m_2v^2}{m_1 + m_2}}{\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2} = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$.

Из условия задачи $m_1/m_2 = 1/3$, так что можно принять $m_1 = m$ и $m_2 = 3m$. Подставим эти значения в формулу:

$\eta = \frac{4 \cdot m \cdot 3m}{(m + 3m)^2} = \frac{12m^2}{(4m)^2} = \frac{12m^2}{16m^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 3/4 или 75% механической энергии перейдет в тепловую.