Номер 1066, страница 202 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота, на которую отвели шар меньшей массы, $h_1 = 50$ см.

Отношение масс шаров $n = \frac{m_2}{m_1} = 1.5$, где $m_1$ - масса меньшего шара, $m_2$ - масса большего шара.

Столкновение абсолютно неупругое.

Перевод в СИ:

$h_1 = 0.5$ м.

Найти:

$h_2$ - максимальная высота, на которую поднимутся шары после столкновения.

Решение:

Решение задачи состоит из трех этапов. Сначала рассмотрим падение шара меньшей массы и найдем его скорость перед столкновением, используя закон сохранения энергии. Затем, используя закон сохранения импульса, найдем скорость шаров сразу после их абсолютно неупругого столкновения. Наконец, снова применим закон сохранения энергии для совместного движения шаров, чтобы найти максимальную высоту их подъема.

1. На первом этапе шар массой $m_1$ падает с высоты $h_1$. Его начальная потенциальная энергия $E_p = m_1 g h_1$ переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{m_1 v_1^2}{2}$ в самой нижней точке (непосредственно перед столкновением). Согласно закону сохранения механической энергии:

$m_1 g h_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Отсюда находим скорость $v_1$ шара перед столкновением:

$v_1^2 = 2 g h_1$

$v_1 = \sqrt{2 g h_1}$

2. На втором этапе происходит абсолютно неупругое столкновение. При таком столкновении шары слипаются и продолжают движение как единое целое. Для этого процесса выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до столкновения равен импульсу первого шара, так как второй шар покоился ($v_2=0$). Импульс после столкновения равен импульсу составного тела массой $(m_1 + m_2)$, движущегося со скоростью $u$.

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Выразим скорость $u$ после столкновения:

$u = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Используем заданное отношение масс $n = m_2/m_1$, откуда $m_2 = n m_1$. Подставим это в формулу:

$u = \frac{m_1}{m_1 + n m_1} v_1 = \frac{m_1}{m_1(1 + n)} v_1 = \frac{v_1}{1+n}$

3. На третьем этапе оба шара, двигаясь вместе, поднимаются на максимальную высоту $h_2$. Их совместная кинетическая энергия сразу после столкновения переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте. По закону сохранения энергии:

$\frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = (m_1 + m_2) g h_2$

Отсюда находим высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{u^2}{2g}$

Теперь объединим все полученные выражения. Подставим в формулу для $h_2$ выражение для $u$, а затем для $v_1^2$:

$h_2 = \frac{1}{2g} \left( \frac{v_1}{1+n} \right)^2 = \frac{v_1^2}{2g(1+n)^2}$

$h_2 = \frac{2 g h_1}{2g(1+n)^2} = \frac{h_1}{(1+n)^2}$

Подставим числовые значения:

$h_2 = \frac{0.5 \text{ м}}{(1+1.5)^2} = \frac{0.5 \text{ м}}{2.5^2} = \frac{0.5 \text{ м}}{6.25} = 0.08 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.08$ м $= 8$ см.

Ответ: максимальная высота, на которую поднимутся шары после столкновения, равна 8 см.