Номер 1050, страница 200 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина доски $l = 2,5$ м
Отношение масс $n = 4$ ($M=nm$, где $M$ - масса доски, $m$ - масса бруска)
Коэффициент трения $\mu = 0,4$
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Минимальную начальную скорость бруска $v_0$.

Решение:

Рассмотрим систему "брусок + доска". Так как доска лежит на гладкой горизонтальной поверхности, внешние горизонтальные силы на систему не действуют. Следовательно, для системы будет выполняться закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Минимальная скорость $v_0$, которую нужно сообщить бруску, соответствует случаю, когда брусок достигает другого конца доски и его скорость становится равной скорости доски. То есть, в конечный момент времени брусок и доска движутся как единое целое с некоторой скоростью $u$.

Пусть $m$ – масса бруска, тогда масса доски $M = nm = 4m$. Начальная скорость бруска равна $v_0$, а доска покоится.

Запишем закон сохранения импульса:

$m v_0 = (m + M) u$

Подставим $M = nm$:

$m v_0 = (m + nm) u = m(1+n)u$

Отсюда можно выразить конечную скорость системы:

$u = \frac{v_0}{1+n}$

При движении бруска по доске на него действует сила трения, которая совершает работу. Эта работа переходит в тепло. Из-за наличия силы трения механическая энергия системы не сохраняется. Запишем закон изменения (сохранения) полной энергии системы. Начальная энергия системы – это кинетическая энергия бруска. Конечная энергия – это кинетическая энергия бруска и доски, движущихся вместе, плюс количество теплоты $Q$, выделившееся за счет работы силы трения.

$E_{k_{нач}} = E_{k_{кон}} + Q$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)u^2 + Q$

Работа силы трения $A_{тр}$ равна выделившемуся теплу $Q$. Сила трения скольжения между бруском и доской равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg$. Путь, который брусок проходит относительно доски, равен длине доски $l$.

$Q = A_{тр} = F_{тр} \cdot l = \mu m g l$

Подставим выражения для $u$ и $Q$ в закон сохранения энергии:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m+nm)\left(\frac{v_0}{1+n}\right)^2 + \mu m g l$

Сократим обе части уравнения на $m$:

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}(1+n)\frac{v_0^2}{(1+n)^2} + \mu g l$

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{1+n} + \mu g l$

Перенесем слагаемое с $v_0^2$ в левую часть:

$\frac{1}{2}v_0^2 - \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{1+n} = \mu g l$

$\frac{1}{2}v_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+n}\right) = \mu g l$

$\frac{1}{2}v_0^2 \left(\frac{1+n-1}{1+n}\right) = \mu g l$

$\frac{1}{2}v_0^2 \left(\frac{n}{1+n}\right) = \mu g l$

Выразим $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{2 \mu g l (1+n)}{n}$

Тогда искомая скорость:

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \mu g l (n+1)}{n}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,4 \cdot 10 \cdot 2,5 \cdot (4+1)}{4}} = \sqrt{\frac{0,8 \cdot 10 \cdot 2,5 \cdot 5}{4}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 2,5 \cdot 5}{4}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 5}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5$ м/с.

Ответ: $v_0 = 5$ м/с.