Номер 1044, страница 199 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано

Масса бруска: $m_1$
Масса пули: $m_2$
Начальная скорость пули: $v$
Сила сопротивления дерева: $F_c$
Начальная скорость бруска: $v_1 = 0$

Найти:

Глубина проникновения пули в брусок: $s$

Решение

Данную задачу можно решить, используя законы сохранения импульса и энергии.

1. Рассмотрим систему тел «пуля + брусок». Поскольку брусок лежит на гладком столе, трение между бруском и столом отсутствует. Таким образом, в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Запишем закон сохранения импульса. До взаимодействия импульс системы равен импульсу пули, так как брусок покоится:
$p_{до} = m_2 v$

После того как пуля полностью войдет в брусок, они начнут двигаться как единое целое с некоторой общей скоростью $u$. Импульс системы после взаимодействия:
$p_{после} = (m_1 + m_2) u$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:
$m_2 v = (m_1 + m_2) u$

Из этого уравнения выразим скорость системы «брусок + пуля» после взаимодействия:
$u = \frac{m_2 v}{m_1 + m_2}$

2. Взаимодействие пули и бруска является неупругим ударом. В процессе проникновения пули в брусок часть механической энергии системы превращается во внутреннюю энергию (тепло) из-за работы силы сопротивления. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, в данном случае — работе силы сопротивления $F_c$.

Начальная кинетическая энергия системы (до удара):
$E_{к, до} = \frac{m_2 v^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы (после того, как пуля застряла в бруске):
$E_{к, после} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Работа силы сопротивления $A_c$ равна изменению кинетической энергии системы. Сила сопротивления совершает отрицательную работу, так как она направлена против относительного смещения пули внутри бруска. Величина этого смещения равна глубине проникновения $s$.
$A_c = \Delta E_к = E_{к, после} - E_{к, до}$
Работа силы сопротивления также выражается как $A_c = -F_c s$. Таким образом:
$-F_c s = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} - \frac{m_2 v^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $u$, найденное ранее:
$-F_c s = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_2 v}{m_1 + m_2} \right)^2 - \frac{m_2 v^2}{2}$

Упростим выражение:
$-F_c s = \frac{(m_1 + m_2) m_2^2 v^2}{2(m_1 + m_2)^2} - \frac{m_2 v^2}{2}$
$-F_c s = \frac{m_2^2 v^2}{2(m_1 + m_2)} - \frac{m_2 v^2}{2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:
$-F_c s = \frac{m_2^2 v^2 - m_2 v^2(m_1 + m_2)}{2(m_1 + m_2)}$
$-F_c s = \frac{m_2^2 v^2 - m_1 m_2 v^2 - m_2^2 v^2}{2(m_1 + m_2)}$
$-F_c s = \frac{-m_1 m_2 v^2}{2(m_1 + m_2)}$

Наконец, выразим искомую глубину проникновения $s$:
$s = \frac{m_1 m_2 v^2}{2 F_c (m_1 + m_2)}$

Ответ: $s = \frac{m_1 m_2 v^2}{2 F_c (m_1 + m_2)}$