Номер 1040, страница 198 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$α = 45°$
$h_1 = 1,0$ м
$μ = 0,25$
Начальная скорость $v_0 = 0$
Удар абсолютно упругий

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$h_2$

Решение:

Задачу можно решить, используя закон сохранения энергии с учетом работы силы трения. Разобьем движение шайбы на два этапа: спуск и подъем.

1. Движение шайбы вниз с высоты $h_1$.

Начальная полная механическая энергия шайбы (в верхней точке) состоит только из потенциальной энергии:

$E_1 = mgh_1$

В конце спуска, у основания наклонной плоскости, шайба будет обладать кинетической энергией $E_к = \frac{1}{2}mv_1^2$, где $v_1$ – скорость шайбы перед ударом. Потенциальная энергия в этой точке равна нулю.

Во время спуска на шайбу действует сила трения, совершающая работу. Закон изменения механической энергии гласит, что изменение полной механической энергии равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения):

$\Delta E = A_{тр}$

$E_к - E_1 = A_{тр}$

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна. Сила трения равна $F_{тр} = μN$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости $N = mg\cosα$.

$F_{тр} = μmg\cosα$

Длина пути $L_1$, который проходит шайба при спуске с высоты $h_1$, равна $L_1 = \frac{h_1}{\sinα}$.

Тогда работа силы трения при спуске:

$A_{тр1} = -F_{тр}L_1 = -μmg\cosα \cdot \frac{h_1}{\sinα} = -μmgh_1\cotα$

Подставим все в закон изменения энергии:

$\frac{1}{2}mv_1^2 - mgh_1 = -μmgh_1\cotα$

Отсюда найдем кинетическую энергию шайбы перед ударом:

$\frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_1 - μmgh_1\cotα = mgh_1(1 - μ\cotα)$

2. Абсолютно упругий удар о стенку.

При абсолютно упругом ударе о неподвижную массивную стенку кинетическая энергия шайбы сохраняется. Это значит, что скорость шайбы сразу после удара $v_2$ по модулю равна скорости перед ударом $v_1$, но направлена в противоположную сторону. Кинетическая энергия шайбы в начале подъема равна кинетической энергии в конце спуска.

$E_{к, нач. подъема} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_1(1 - μ\cotα)$

3. Движение шайбы вверх до высоты $h_2$.

Шайба поднимается на максимальную высоту $h_2$, где ее скорость становится равной нулю. Начальная энергия на этом этапе – кинетическая, конечная – потенциальная.

Начальная энергия (у основания): $E_{нач. подъема} = \frac{1}{2}mv_2^2$.

Конечная энергия (на высоте $h_2$): $E_{кон. подъема} = mgh_2$.

Работа силы трения при подъеме на высоту $h_2$ по аналогии с первым этапом:

$A_{тр2} = -μmgh_2\cotα$

Применяем закон изменения энергии для подъема:

$E_{кон. подъема} - E_{нач. подъема} = A_{тр2}$

$mgh_2 - \frac{1}{2}mv_2^2 = -μmgh_2\cotα$

Подставим выражение для кинетической энергии, найденное ранее:

$mgh_2 - mgh_1(1 - μ\cotα) = -μmgh_2\cotα$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$h_2 - h_1(1 - μ\cotα) = -μh_2\cotα$

Теперь решим это уравнение относительно $h_2$:

$h_2 + μh_2\cotα = h_1(1 - μ\cotα)$

$h_2(1 + μ\cotα) = h_1(1 - μ\cotα)$

$h_2 = h_1 \frac{1 - μ\cotα}{1 + μ\cotα}$

4. Вычисления.

Подставим числовые значения. Угол $α = 45°$, поэтому $\cotα = \cot(45°) = 1$.

$h_2 = 1,0 \cdot \frac{1 - 0,25 \cdot 1}{1 + 0,25 \cdot 1} = 1,0 \cdot \frac{1 - 0,25}{1 + 0,25} = \frac{0,75}{1,25}$

$h_2 = \frac{75}{125} = \frac{3 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{3}{5} = 0,6$ м.

Ответ: шайба поднимется на высоту $0,6$ м.