Номер 1041, страница 198 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$\sin \alpha = 0,28$

$h = 2,1 \text{ м}$

$\mu = 0,50$

Удар абсолютно упругий.

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$v_0$ — минимальную начальную скорость шайбы.

Решение:

Задачу можно решить с помощью закона сохранения энергии с учетом работы силы трения. Весь процесс движения шайбы можно разделить на два этапа: движение вниз до упора и движение вверх после отскока.

1. Движение шайбы вниз.

Запишем закон изменения механической энергии для шайбы при ее движении вниз. Начальная полная механическая энергия шайбы (на высоте $h$ со скоростью $v_0$) равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

$E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh$

где $m$ - масса шайбы. Конечная энергия шайбы у основания наклонной плоскости (высота равна нулю) перед ударом об упор:

$E_{кон1} = \frac{mv_1^2}{2}$

где $v_1$ - скорость шайбы непосредственно перед ударом.

Изменение механической энергии равно работе силы трения $A_{тр1}$.

$E_{кон1} - E_{нач} = A_{тр1}$

Работа силы трения отрицательна и равна $A_{тр1} = -F_{тр} \cdot S$, где $S$ - путь, пройденный шайбой, а $F_{тр}$ - сила трения.

Сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости $N = mg \cos\alpha$. Путь $S$ можно выразить через высоту $h$ и угол наклона $\alpha$: $S = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Таким образом, работа силы трения: $A_{тр1} = -\mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$.

Подставляем все в закон изменения энергии:

$\frac{mv_1^2}{2} - (\frac{mv_0^2}{2} + mgh) = -\mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$ (1)

2. Движение шайбы вверх.

По условию, удар об упор абсолютно упругий. Это означает, что кинетическая энергия шайбы сохраняется, а направление скорости меняется на противоположное. Скорость шайбы сразу после отскока равна $v_1$.

Начальная энергия шайбы на этом этапе (сразу после отскока у основания):

$E_{нач2} = \frac{mv_1^2}{2}$

Конечная энергия шайбы в исходной точке (на высоте $h$), где она останавливается, равна ее потенциальной энергии:

$E_{кон2} = mgh$

Работа силы трения $A_{тр2}$ при движении вверх по модулю равна работе при движении вниз, так как сила трения и путь не изменились: $A_{тр2} = -\mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$.

Закон изменения энергии для движения вверх:

$E_{кон2} - E_{нач2} = A_{тр2}$

$mgh - \frac{mv_1^2}{2} = -\mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$

Из этого уравнения выразим кинетическую энергию шайбы у основания:

$\frac{mv_1^2}{2} = mgh + \mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$ (2)

3. Нахождение начальной скорости $v_0$.

Подставим выражение для $\frac{mv_1^2}{2}$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$(mgh + \mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}) - (\frac{mv_0^2}{2} + mgh) = -\mu mg \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$

Сократим $mgh$ и массу $m$:

$\mu g \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha} - \frac{v_0^2}{2} = -\mu g \cos\alpha \frac{h}{\sin\alpha}$

$\frac{v_0^2}{2} = 2 \mu g h \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$v_0^2 = 4 \mu g h \cot\alpha$

$v_0 = \sqrt{4 \mu g h \cot\alpha} = 2\sqrt{\mu g h \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}$

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,28^2} = \sqrt{1 - 0,0784} = \sqrt{0,9216} = 0,96$

Теперь подставим числовые значения в формулу для $v_0$:

$v_0 = 2\sqrt{0,50 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2,1 \text{ м} \cdot \frac{0,96}{0,28}}$

$v_0 = 2\sqrt{5 \cdot 2,1 \cdot \frac{96}{28}} = 2\sqrt{10,5 \cdot \frac{24}{7}} = 2\sqrt{\frac{10,5 \cdot 24}{7}} = 2\sqrt{1,5 \cdot 24} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ м/с}$

Ответ: $12 \text{ м/с}$.