Номер 1034, страница 196 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 0,40 \text{ кг}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$v_2 = 20 \text{ м/с}$

Найти:

$E_{п,макс}$ — максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации.

Решение:

Система из двух шайб является замкнутой, так как они движутся по гладкой горизонтальной поверхности, и внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции) скомпенсированы. Следовательно, для системы выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

Максимальная потенциальная энергия упругой деформации будет в момент, когда шайбы максимально сблизятся и их относительная скорость станет равной нулю. В этот момент они будут двигаться как единое целое с некоторой общей скоростью $u$.

Запишем закон сохранения импульса. Направим ось OX в сторону движения первой шайбы. Тогда проекция скорости второй шайбы будет отрицательной.

Импульс системы до столкновения:
$p_{до} = m v_1 - m v_2$

Импульс системы в момент максимальной деформации:
$p_{после} = (m + m) u = 2mu$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:
$m v_1 - m v_2 = 2mu$
Отсюда найдем общую скорость $u$:
$u = \frac{m(v_1 - v_2)}{2m} = \frac{v_1 - v_2}{2}$

Теперь запишем закон сохранения энергии. До столкновения система обладала только кинетической энергией.

Энергия системы до столкновения:
$E_{до} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2}$

В момент максимальной деформации полная энергия системы состоит из кинетической энергии движения шайб как единого целого и максимальной потенциальной энергии упругой деформации $E_{п,макс}$.

$E_{после} = \frac{(m+m)u^2}{2} + E_{п,макс} = \frac{2mu^2}{2} + E_{п,макс} = mu^2 + E_{п,макс}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{до} = E_{после}$:
$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2} = mu^2 + E_{п,макс}$

Выразим $E_{п,макс}$:
$E_{п,макс} = \frac{m(v_1^2 + v_2^2)}{2} - mu^2$

Подставим выражение для скорости $u$:
$E_{п,макс} = \frac{m(v_1^2 + v_2^2)}{2} - m \left( \frac{v_1 - v_2}{2} \right)^2$
$E_{п,макс} = \frac{m(v_1^2 + v_2^2)}{2} - \frac{m(v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2)}{4}$
$E_{п,макс} = \frac{m}{4} [2(v_1^2 + v_2^2) - (v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2)]$
$E_{п,макс} = \frac{m}{4} [2v_1^2 + 2v_2^2 - v_1^2 + 2v_1v_2 - v_2^2]$
$E_{п,макс} = \frac{m}{4} (v_1^2 + 2v_1v_2 + v_2^2)$
$E_{п,макс} = \frac{m(v_1 + v_2)^2}{4}$

Подставим числовые значения:
$E_{п,макс} = \frac{0,40 \cdot (10 + 20)^2}{4} = 0,1 \cdot (30)^2 = 0,1 \cdot 900 = 90 \text{ Дж}$

Ответ: максимальное значение потенциальной энергии упругой деформации шайб равно 90 Дж.