Номер 1027, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина нитей: $l = 0,50 \text{ м}$

Отношение масс шаров: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ (где $m_1$ - масса легкого шара, $m_2$ - масса тяжелого шара)

Угол начального отклонения легкого шара: $\alpha = 90^\circ$

Найти:

Максимальную высоту подъема тяжелого шара $h_{max2}$.

Решение:

Решение задачи можно разбить на три последовательных этапа: движение легкого шара до столкновения, абсолютно упругое столкновение шаров и движение тяжелого шара после столкновения.

1. Нахождение скорости легкого шара перед столкновением

Когда легкий шар отклоняют на угол $\alpha$ от вертикали, он поднимается на высоту $h_1$ относительно своего нижнего положения (положения равновесия). Эта высота находится из геометрических соображений: $h_1 = l - l \cos\alpha$. Поскольку по условию $\alpha = 90^\circ$, а $\cos 90^\circ = 0$, начальная высота подъема равна длине нити: $h_1 = l$. Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия $E_p = m_1 g h_1$, которой обладал шар в начальном положении, при движении вниз полностью перейдет в кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ в самой нижней точке траектории, то есть непосредственно перед ударом. $m_1 g h_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$. Подставив $h_1 = l$, получаем: $m_1 g l = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$. Из этого уравнения находим квадрат скорости легкого шара $v_1$ перед ударом: $v_1^2 = 2 g l$.

2. Расчет скорости тяжелого шара после столкновения

Столкновение по условию является центральным и абсолютно упругим. Это означает, что в системе из двух шаров сохраняется как суммарный импульс, так и суммарная кинетическая энергия. Для такого типа столкновения, когда налетающее тело (масса $m_1$, скорость $v_1$) ударяет по покоящемуся телу (масса $m_2$, скорость $v_2 = 0$), скорость второго тела после удара ($u_2$) определяется по формуле: $u_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$. Используем заданное соотношение масс $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$. Для удобства расчетов можно принять $m_1 = 2k$ и $m_2 = 3k$, где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Подставим эти значения в формулу: $u_2 = \frac{2 (2k)}{2k + 3k} v_1 = \frac{4k}{5k} v_1 = \frac{4}{5} v_1$.

3. Нахождение максимальной высоты подъема тяжелого шара

После столкновения тяжелый шар, получив начальную скорость $u_2$, начинает движение вверх. Его кинетическая энергия в нижней точке полностью переходит в потенциальную в верхней точке подъема на максимальную высоту $h_{max2}$. Снова применяем закон сохранения энергии, но теперь для тяжелого шара: $\frac{1}{2} m_2 u_2^2 = m_2 g h_{max2}$. Отсюда выражаем искомую высоту: $h_{max2} = \frac{u_2^2}{2g}$. Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $u_2$: $h_{max2} = \frac{1}{2g} \left( \frac{4}{5} v_1 \right)^2 = \frac{1}{2g} \cdot \frac{16}{25} v_1^2$. Теперь подставим выражение для $v_1^2$ из первого пункта ($v_1^2 = 2 g l$): $h_{max2} = \frac{1}{2g} \cdot \frac{16}{25} \cdot (2 g l) = \frac{16}{25} l$.

Осталось провести численный расчет, подставив значение длины нити $l = 0,50 \text{ м}$: $h_{max2} = \frac{16}{25} \cdot 0,50 \text{ м} = 0,64 \cdot 0,5 \text{ м} = 0,32 \text{ м}$.

Ответ: $0,32 \text{ м}$.