Номер 1025, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 2$ кг

$m_2 = 1$ кг

$v_1 = 6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (шар неподвижен)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$u_1$ — модуль скорости первого шара после удара

$u_2$ — модуль скорости второго шара после удара

Решение:

Поскольку столкновение шаров является центральным и абсолютно упругим, для решения задачи можно использовать два фундаментальных закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения. В проекции на ось, направленную вдоль начальной скорости первого шара, закон имеет вид:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Так как второй шар до столкновения был неподвижен ($v_2 = 0$), уравнение упрощается:

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

С учетом $v_2 = 0$, получаем:

$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными скоростями $u_1$ и $u_2$. Решим эту систему. Для этого преобразуем оба уравнения, перенеся члены с $m_1$ в левую часть:

Из (1): $m_1(v_1 - u_1) = m_2 u_2$

Из (2): $m_1(v_1^2 - u_1^2) = m_2 u_2^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, перепишем второе уравнение:

$m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 u_2^2$

Теперь разделим преобразованное второе уравнение на преобразованное первое:

$\frac{m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1)}{m_1(v_1 - u_1)} = \frac{m_2 u_2^2}{m_2 u_2}$

В результате получаем простое соотношение между скоростями:

$v_1 + u_1 = u_2$

Подставим это выражение для $u_2$ в уравнение сохранения импульса (1):

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 (v_1 + u_1)$

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 v_1 + m_2 u_1$

Сгруппируем члены с $v_1$ и $u_1$:

$v_1(m_1 - m_2) = u_1(m_1 + m_2)$

Отсюда выражаем скорость первого шара после столкновения $u_1$:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

Подставим числовые значения:

$u_1 = \frac{2\text{ кг} - 1\text{ кг}}{2\text{ кг} + 1\text{ кг}} \cdot 6 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1}{3} \cdot 6 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь найдем скорость второго шара $u_2$, используя полученное ранее соотношение $u_2 = v_1 + u_1$:

$u_2 = 6 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 2 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Полученные значения скоростей $u_1$ и $u_2$ положительны, следовательно, их модули равны вычисленным значениям, и оба шара после столкновения движутся в том же направлении, что и первый шар до удара.

Ответ: модуль скорости первого шара после удара $u_1 = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, модуль скорости второго шара после удара $u_2 = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.