Номер 1019, страница 194 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса клина $M$ в $n$ раз больше массы шарика $m$: $n = \frac{M}{m} = 6,0$
Скорость клина после удара: $v = 1,0 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Максимальная высота подъема шарика от точки удара: $h$

Решение:

Рассмотрим систему тел «шарик-клин». Пусть масса шарика равна $m$, а масса клина $M = nm$. До удара шарик движется горизонтально со скоростью $v_0$, а клин покоится. После упругого удара шарик отскакивает вертикально вверх со скоростью $u$, а клин начинает двигаться горизонтально со скоростью $v$.

Поскольку клин гладкий и он лежит на гладкой горизонтальной поверхности, на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы. Это означает, что для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$m v_0 = M v$

Отсюда можем выразить начальную скорость шарика $v_0$:

$v_0 = \frac{M}{m} v = n v$

Так как удар является упругим, полная механическая энергия системы сохраняется. Запишем закон сохранения кинетической энергии для момента непосредственно до и после удара:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m u^2}{2} + \frac{M v^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$m v_0^2 = m u^2 + M v^2$

Подставим в это уравнение выражение для $v_0$, найденное из закона сохранения импульса:

$m (n v)^2 = m u^2 + M v^2$

$m n^2 v^2 = m u^2 + M v^2$

Выразим из этого уравнения квадрат скорости шарика после удара $u^2$. Для этого перенесем слагаемое с $M$ влево:

$m u^2 = m n^2 v^2 - M v^2$

Подставим $M = nm$:

$m u^2 = m n^2 v^2 - n m v^2$

Вынесем за скобки общие множители:

$m u^2 = m v^2 (n^2 - n)$

Сократим массу $m$:

$u^2 = v^2 n(n - 1)$

После удара шарик движется вертикально вверх. Его дальнейшее движение описывается законом сохранения механической энергии для одного шарика в поле тяжести Земли. В точке удара (примем ее за нулевой уровень потенциальной энергии) шарик обладает кинетической энергией $\frac{m u^2}{2}$. На максимальной высоте $h$ его скорость становится равной нулю, а потенциальная энергия равна $mgh$.

$\frac{m u^2}{2} = m g h$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = \frac{u^2}{2g}$

Подставим найденное ранее выражение для $u^2$:

$h = \frac{v^2 n(n - 1)}{2g}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{(1,0 \, \text{м/с})^2 \cdot 6,0 \cdot (6,0 - 1)}{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2} = \frac{1,0 \cdot 6,0 \cdot 5,0}{19,6} \, \text{м} = \frac{30}{19,6} \, \text{м} \approx 1,53 \, \text{м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи $n = 6,0$ и $v = 1,0 \, \text{м/с}$), получаем $h \approx 1,5 \, \text{м}$.

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется шарик от точки удара, равна 1,5 м.