Номер 1017, страница 193 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$R = 20 \text{ см}$

$k = 1.5$

Желоб гладкий (трение отсутствует).

Перевод в систему СИ:

$R = 0.2 \text{ м}$

Найти:

a) $h_1$ - минимальную высоту, с которой шайба совершит полный оборот.

б) $h_2$ - высоту, на которой сила давления шайбы на кольцо в $k$ раз больше силы тяжести.

Решение:

а) Определение минимальной высоты $h_1$

Для того чтобы шайба совершила полный оборот, она должна пройти верхнюю точку кольца, не отрываясь от него. Критическим условием является то, что в верхней точке кольца (на высоте $2R$) сила нормальной реакции опоры $N$ становится равной нулю. В этом случае единственной силой, обеспечивающей центростремительное ускорение, является сила тяжести $mg$.

Запишем второй закон Ньютона для шайбы в верхней точке кольца в проекции на вертикальную ось, направленную к центру кольца (вниз):

$N + mg = \frac{mv_t^2}{R}$

где $v_t$ — скорость шайбы в верхней точке.При минимальной начальной высоте $h_1$ сила реакции в верхней точке $N=0$, следовательно:

$mg = \frac{mv_t^2}{R}$

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_t^2 = gR$

Поскольку желоб гладкий, выполняется закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку кольца.Начальная энергия шайбы на высоте $h_1$ (состояние 1):

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh_1 + 0 = mgh_1$

Энергия шайбы в верхней точке кольца на высоте $2R$ (состояние 2):

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_t^2$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh_1 = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_t^2$

Подставим найденное выражение для $v_t^2 = gR$:

$mgh_1 = 2mgR + \frac{1}{2}mgR$

$mgh_1 = 2.5mgR$

Сократив $mg$, получаем минимальную высоту $h_1$:

$h_1 = 2.5R$

Вычислим значение:

$h_1 = 2.5 \cdot 0.2 \text{ м} = 0.5 \text{ м}$

Ответ: Минимальная высота, при которой шайба сможет совершить полный оборот в кольце, равна $h_1 = 0.5$ м.

б) Определение высоты $h_2$

Шайба начинает движение с высоты $h_1 = 2.5R$. Нам нужно найти высоту $h_2$ (отсчитываемую от нижней точки кольца), на которой сила давления $P$ шайбы на кольцо в $k=1.5$ раза больше силы тяжести $mg$. По третьему закону Ньютона, сила давления шайбы на кольцо $P$ равна по модулю силе нормальной реакции $N'$, действующей на шайбу со стороны кольца. Таким образом, $N' = P = k \cdot mg = 1.5mg$.

Рассмотрим положение шайбы на высоте $h_2$. Пусть $\theta$ — угол, который образует радиус-вектор, проведенный из центра кольца к шайбе, с вертикалью, направленной вниз. Тогда высота $h_2$ связана с углом $\theta$ соотношением $h_2 = R(1 - \cos\theta)$.

Запишем второй закон Ньютона для шайбы в этом положении в проекции на радиальное направление (к центру кольца):

$N' - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

где $v$ — скорость шайбы на высоте $h_2$.

Подставляем условие $N' = 1.5mg$:

$1.5mg - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

Теперь применим закон сохранения энергии для перехода из начального положения на высоте $h_1$ в положение на высоте $h_2$:

$mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2$

Подставим $h_1 = 2.5R$ и выразим $v^2$:

$mg(2.5R) = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v^2 = 2g(2.5R - h_2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Из геометрического соотношения $h_2 = R(1 - \cos\theta)$ выразим $\cos\theta = 1 - \frac{h_2}{R}$. Подставим выражения для $v^2$ и $\cos\theta$ в уравнение второго закона Ньютона:

$1.5mg - mg(1 - \frac{h_2}{R}) = \frac{m(2g(2.5R - h_2))}{R}$

Сократим на $mg$:

$1.5 - (1 - \frac{h_2}{R}) = \frac{2(2.5R - h_2)}{R}$

$0.5 + \frac{h_2}{R} = \frac{5R - 2h_2}{R}$

$0.5 + \frac{h_2}{R} = 5 - \frac{2h_2}{R}$

Соберем члены с $h_2$ в одной части уравнения:

$\frac{h_2}{R} + \frac{2h_2}{R} = 5 - 0.5$

$\frac{3h_2}{R} = 4.5$

$3h_2 = 4.5R$

$h_2 = \frac{4.5R}{3} = 1.5R$

Вычислим значение $h_2$:

$h_2 = 1.5 \cdot 0.2 \text{ м} = 0.3 \text{ м}$

Ответ: Высота, на которой модуль силы давления шайбы на кольцо в 1,5 раза больше модуля силы тяжести, равна $h_2 = 0.3$ м.