Номер 1011, страница 192 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина нити $l = 1.6$ м

а) Высота отклонения $h_a = 45$ см

б) Угол отклонения $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h_a = 45 \text{ см} = 0.45 \text{ м}$

Найти:

$v_{max}$ — модуль максимальной скорости движения шарика для случаев а) и б).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку нить невесомая и нерастяжимая, а сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия системы "шарик-Земля" сохраняется. Сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости шарика, поэтому ее работа равна нулю.

Максимальная скорость $v_{max}$ достигается в нижней точке траектории (в положении равновесия). Примем эту точку за нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$).

В начальный момент, в точке максимального отклонения на высоте $h$, шарик отпускают без начальной скорости ($v_0 = 0$). Его полная механическая энергия равна потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

где $m$ — масса шарика.

В момент прохождения положения равновесия высота шарика равна нулю ($h=0$), поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Полная механическая энергия равна кинетической энергии:

$E_2 = E_k = \frac{mv_{max}^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Масса шарика $m$ сокращается. Выразим максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max}^2 = 2gh$

$v_{max} = \sqrt{2gh}$

а) В этом случае начальная высота отклонения задана: $h = 0.45$ м.

Рассчитаем максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.45 \text{ м}} = \sqrt{9 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

б) В этом случае задан угол отклонения нити от вертикали $\alpha = 60^\circ$. Необходимо сначала найти высоту $h$, на которую поднимается шарик. Из геометрических соображений для маятника высота подъема $h$ связана с длиной нити $l$ и углом отклонения $\alpha$ следующим образом:

$h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$

Вычислим высоту $h$:

$h = 1.6 \, \text{м} \cdot (1 - \cos 60^\circ) = 1.6 \, \text{м} \cdot (1 - 0.5) = 1.6 \, \text{м} \cdot 0.5 = 0.8 \, \text{м}$

Теперь, зная высоту, рассчитаем максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.8 \text{ м}} = \sqrt{16 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.