Номер 1007, страница 191 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Жесткость пружины: $k$
Масса шара: $m$
Начальная высота над пружиной: $h$
Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

Максимальную кинетическую энергию шара $E_{k,max}$.

Решение:

Кинетическая энергия шара достигает своего максимального значения в тот момент, когда его ускорение становится равным нулю. Это происходит, когда сила тяжести $mg$, действующая на шар вниз, уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр}$, направленной вверх.

Пусть $x_0$ — это сжатие пружины в положении, где скорость (и кинетическая энергия) шара максимальна. Запишем условие равенства сил (второй закон Ньютона при $a=0$): $mg = F_{упр}$

Поскольку сила упругости определяется законом Гука $F_{упр} = kx_0$, получаем: $mg = kx_0$

Отсюда можно выразить величину сжатия $x_0$: $x_0 = \frac{mg}{k}$

Теперь для нахождения значения максимальной кинетической энергии $E_{k,max}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии для замкнутой системы «шар–пружина–Земля». Сравним полную энергию системы в двух состояниях: начальном и в момент достижения максимальной кинетической энергии.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение верхнего конца несжатой пружины.

1. Начальное состояние. Шар находится на высоте $h$ над пружиной и покоится ($v_0 = 0$).
Полная механическая энергия системы $E_1$ равна сумме кинетической и потенциальной энергий: $E_1 = E_{k1} + E_{p,g1} + E_{p,s1} = 0 + mgh + 0 = mgh$

2. Состояние максимальной кинетической энергии. Шар сжал пружину на величину $x_0$ и находится ниже нулевого уровня на этом расстоянии.
Полная механическая энергия системы $E_2$ складывается из максимальной кинетической энергии шара $E_{k,max}$, потенциальной энергии сжатой пружины $E_{p,s2}$ и гравитационной потенциальной энергии шара $E_{p,g2}$: $E_2 = E_{k,max} + E_{p,s2} + E_{p,g2}$

Потенциальная энергия пружины: $E_{p,s2} = \frac{kx_0^2}{2} = \frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{2k}$.
Гравитационная потенциальная энергия: $E_{p,g2} = -mgx_0 = -mg\left(\frac{mg}{k}\right) = -\frac{m^2g^2}{k}$.

Тогда полная энергия во втором состоянии: $E_2 = E_{k,max} + \frac{m^2g^2}{2k} - \frac{m^2g^2}{k} = E_{k,max} - \frac{m^2g^2}{2k}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$: $mgh = E_{k,max} - \frac{m^2g^2}{2k}$

Выразим отсюда искомую максимальную кинетическую энергию: $E_{k,max} = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Ответ: Максимальная кинетическая энергия шара равна $E_{k,max} = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$.