Номер 1008, страница 192 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса груза $m = 1,6$ кг

жесткость пружины $k = 250$ Н/м

максимальное расстояние опускания $l = 0,08$ м

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

модуль начальной скорости $v_0$

Решение:

Когда груз подвешен на пружине, он находится в положении равновесия. В этом положении сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $mg$. Если обозначить растяжение пружины в положении равновесия как $\Delta x_0$, то $k \Delta x_0 = mg$.

Грузу сообщают начальную скорость $v_0$ из положения равновесия. После этого система "груз-пружина-Земля" будет совершать гармонические колебания относительно этого положения равновесия. Максимальное расстояние, на которое опускается груз от положения равновесия, является амплитудой колебаний, то есть $A = l = 0,08$ м.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия системы, совершающей гармонические колебания, остается постоянной и равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

$E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

где $x$ — смещение тела от положения равновесия, а $v$ — его скорость.

Рассмотрим два состояния системы:

1. Начальное состояние: груз находится в положении равновесия ($x=0$) и ему сообщают начальную скорость $v_0$. Полная энергия системы в этот момент равна максимальной кинетической энергии:

$E_1 = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{k \cdot 0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}$

2. Конечное состояние: груз достигает максимального отклонения вниз, то есть опускается на расстояние $l$. В этой точке (нижней точке траектории) скорость груза на мгновение становится равной нулю ($v=0$), а смещение от положения равновесия максимально и равно $x = l$. Полная энергия системы в этот момент равна максимальной потенциальной энергии:

$E_2 = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{kl^2}{2} = \frac{kl^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается неизменной, следовательно, $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{kl^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$mv_0^2 = kl^2$

Выразим отсюда квадрат начальной скорости:

$v_0^2 = \frac{kl^2}{m}$

Тогда модуль начальной скорости равен:

$v_0 = \sqrt{\frac{kl^2}{m}} = l \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_0 = 0,08 \cdot \sqrt{\frac{250}{1,6}} = 0,08 \cdot \sqrt{156,25} = 0,08 \cdot 12,5 = 1$ м/с.

Ответ: модуль начальной скорости, сообщенной грузу, равен 1 м/с.