Номер 1001, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса груза $m_1 = 300$ г
Длина веревки $l = 70$ см
Масса веревки $m_2 = 100$ г
Начальная скорость системы $v_0 = 0$ м/с

$m_1 = 0,3$ кг
$l = 0,7$ м
$m_2 = 0,1$ кг

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как стол гладкий (трение отсутствует), а силы натяжения веревки являются внутренними для системы «груз-веревка».

Выберем уровень поверхности стола в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($h=0$).

Начальное состояние (1): Веревка полностью лежит на столе, а прикрепленный к ее концу груз находится у самого края стола. Система начинает движение из состояния покоя.

Полная механическая энергия системы в начальном состоянии $E_1$ складывается из кинетической и потенциальной энергий. Так как система покоится, ее начальная кинетическая энергия $K_1 = 0$. Поскольку вся веревка и груз находятся на нулевом уровне, их начальная потенциальная энергия также равна нулю: $U_1 = 0$. Таким образом, полная начальная энергия системы: $E_1 = K_1 + U_1 = 0$.

Конечное состояние (2): Веревка полностью соскользнула со стола. Ее свободный конец (без груза) находится на уровне края стола, а вся веревка вместе с грузом свисает вертикально.

В этот момент вся система (груз и веревка) движется с искомой скоростью $v$. Кинетическая энергия системы $K_2$ равна: $K_2 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

Потенциальная энергия системы $U_2$ изменилась, так как груз и веревка опустились ниже нулевого уровня. Груз $m_1$ опустился на расстояние, равное длине веревки $l$. Его потенциальная энергия стала $U_{1,2} = -m_1gl$. Веревка $m_2$ однородна и свисает вертикально. Ее центр масс находится посередине, то есть на глубине $l/2$ относительно уровня стола. Ее потенциальная энергия стала $U_{2,2} = -m_2g\frac{l}{2}$. Общая потенциальная энергия системы в конечном состоянии: $U_2 = U_{1,2} + U_{2,2} = -m_1gl - m_2g\frac{l}{2} = -gl(m_1 + \frac{m_2}{2})$

Полная энергия системы в конечном состоянии: $E_2 = K_2 + U_2 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} - gl(m_1 + \frac{m_2}{2})$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$: $0 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} - gl(m_1 + \frac{m_2}{2})$

Выразим из этого уравнения скорость $v$: $\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = gl(m_1 + \frac{m_2}{2})$ $v^2 = \frac{2gl(m_1 + \frac{m_2}{2})}{m_1 + m_2} = \frac{gl(2m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$ $v = \sqrt{\frac{gl(2m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу (примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²): $v = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,7 \text{ м} \cdot (2 \cdot 0,3 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг})}{0,3 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,7 \cdot (0,6 + 0,1)}{0,4}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,7 \cdot 0,7}{0,4}} = \sqrt{\frac{4,802}{0,4}} = \sqrt{12,005} \approx 3,46$ м/с.

Ответ: модуль скорости движения веревки в тот момент, когда ее свободный конец соскользнет со стола, равен приблизительно $3,46$ м/с.