Номер 994, страница 189 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Уравнение движения: $y(t) = A + Bt + Ct^2$
$A = 1,2$ м
$B = 1,0$ м/с
$C = -5,0$ м/с²
$m = 8,0$ г
$t = 0,50$ с

$m = 8,0 \text{ г} = 8,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,008 \text{ кг}$

Найти:

Механическую энергию в начальный момент времени ($E_0$)
Кинетическую энергию в момент времени $t$ ($E_k$)
Потенциальную энергию в момент времени $t$ ($E_p$)

Решение:

Уравнение движения тела в поле тяжести имеет вид $y(t) = y_0 + v_{0}t + \frac{gt^2}{2}$, где $y_0$ — начальная высота, $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения. Сравнивая это уравнение с данным в задаче $y = A + Bt + Ct^2$, мы можем определить физический смысл коэффициентов:

Начальная высота (координата при $t=0$): $y_0 = A = 1,2$ м.
Начальная скорость (при $t=0$): $v_0 = B = 1,0$ м/с.
Ускорение: $a = 2C = 2 \cdot (-5,0 \text{ м/с}^2) = -10$ м/с². Ускорение равно ускорению свободного падения, направленному вниз, т.е. $a = -g$, откуда $g = 10$ м/с².

Механическая энергия ластика в начальный момент времени

Полная механическая энергия $E_0$ в начальный момент времени ($t=0$) равна сумме начальной потенциальной ($E_{p0}$) и начальной кинетической ($E_{k0}$) энергий.

Начальная потенциальная энергия рассчитывается по формуле $E_{p0} = mgy_0 = mgA$.
$E_{p0} = 0,008 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1,2 \text{ м} = 0,096$ Дж.

Начальная кинетическая энергия рассчитывается по формуле $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mB^2}{2}$.
$E_{k0} = \frac{0,008 \text{ кг} \cdot (1,0 \text{ м/с})^2}{2} = 0,004$ Дж.

Полная механическая энергия в начальный момент времени:
$E_0 = E_{p0} + E_{k0} = 0,096 \text{ Дж} + 0,004 \text{ Дж} = 0,100$ Дж.
Ответ: Механическая энергия ластика в начальный момент времени равна 0,100 Дж.

Теперь определим кинетическую и потенциальную энергию через время $t = 0,50$ с. Для этого сначала найдем высоту $y(t)$ и скорость $v(t)$ в этот момент.

Высота в момент времени $t=0,50$ с:
$y(0,50) = A + Bt + Ct^2 = 1,2 + 1,0 \cdot 0,50 + (-5,0) \cdot (0,50)^2 = 1,2 + 0,5 - 5,0 \cdot 0,25 = 1,7 - 1,25 = 0,45$ м.

Скорость является первой производной координаты по времени: $v(t) = \frac{dy}{dt} = B + 2Ct$.
Скорость в момент времени $t=0,50$ с:
$v(0,50) = 1,0 + 2 \cdot (-5,0) \cdot 0,50 = 1,0 - 5,0 = -4,0$ м/с.

Кинетическая энергия через время t = 0,50 с

Кинетическая энергия $E_k$ в момент времени $t=0,50$ с рассчитывается по формуле $E_k = \frac{mv(t)^2}{2}$.
$E_k = \frac{0,008 \text{ кг} \cdot (-4,0 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,008 \cdot 16}{2} = 0,064$ Дж.
Ответ: Кинетическая энергия через 0,50 с равна 0,064 Дж.

Потенциальная энергия через время t = 0,50 с

Потенциальная энергия $E_p$ в момент времени $t=0,50$ с рассчитывается по формуле $E_p = mgy(t)$.
$E_p = 0,008 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,45 \text{ м} = 0,036$ Дж.
Ответ: Потенциальная энергия через 0,50 с равна 0,036 Дж.