Номер 990, страница 189 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость шарика, $v_0 = 20 \, \frac{м}{с}$

Коэффициент уменьшения кинетической энергии, $n = 5,0$

Высота для определения скорости, $h = 15 \, м$

Потенциальная энергия на поверхности земли, $E_{p0} = 0$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \frac{м}{с^2}$

Найти:

а) $h_{max}$ - ?

б) $h_1$, при которой $E_k = E_p$ - ?

в) $h_2$, при которой кинетическая энергия уменьшится в $n$ раз - ?

г) $v$ на высоте $h$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем закон сохранения полной механической энергии. Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия шарика (сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной в любой точке траектории.

Начальная полная энергия шарика на поверхности земли (при высоте $h=0$):

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

Полная энергия шарика на произвольной высоте $h$, где его скорость равна $v$:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Из закона сохранения энергии следует, что $E_0 = E$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

а) какой максимальной высоты достигнет шарик

В точке максимального подъема ($h_{max}$) скорость шарика становится равной нулю ($v=0$). Следовательно, его кинетическая энергия в этой точке также равна нулю. Вся начальная кинетическая энергия преобразуется в потенциальную.

$\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$

Сократив массу $m$, выразим максимальную высоту подъема $h_{max}$:

$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h_{max} = \frac{(20 \, \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 10 \, \frac{м}{с^2}} = \frac{400 \, \frac{м^2}{с^2}}{20 \, \frac{м}{с^2}} = 20 \, м$

Ответ: максимальная высота, которой достигнет шарик, равна 20 м.

б) на какой высоте кинетическая энергия шарика будет равна потенциальной

Пусть на искомой высоте $h_1$ выполняется условие $E_k = E_p$. Полная энергия на этой высоте будет равна:

$E = E_k + E_p = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh_1$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия на высоте $h_1$ равна начальной энергии $E_0$:

$2mgh_1 = \frac{mv_0^2}{2}$

Выразим высоту $h_1$:

$h_1 = \frac{v_0^2}{4g}$

Подставим числовые значения:

$h_1 = \frac{(20 \, \frac{м}{с})^2}{4 \cdot 10 \, \frac{м}{с^2}} = \frac{400 \, \frac{м^2}{с^2}}{40 \, \frac{м}{с^2}} = 10 \, м$

Также можно заметить, что $h_1 = h_{max} / 2$.

Ответ: кинетическая энергия шарика будет равна потенциальной на высоте 10 м.

в) на какой высоте кинетическая энергия шарика уменьшится в n = 5,0 раза

Кинетическая энергия на искомой высоте $h_2$ будет в $n$ раз меньше начальной кинетической энергии:

$E_k(h_2) = \frac{E_{k0}}{n} = \frac{1}{n}\frac{mv_0^2}{2}$

Запишем закон сохранения энергии для этой высоты:

$E_0 = E_k(h_2) + E_p(h_2)$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{1}{n}\frac{mv_0^2}{2} + mgh_2$

Выразим отсюда член с потенциальной энергией $mgh_2$:

$mgh_2 = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{1}{n}\frac{mv_0^2}{2} = (1 - \frac{1}{n})\frac{mv_0^2}{2} = \frac{n-1}{n}\frac{mv_0^2}{2}$

Выразим высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{v_0^2}{2g} = \frac{n-1}{n} \cdot h_{max}$

Подставим числовые значения:

$h_2 = \frac{5-1}{5} \cdot 20 \, м = \frac{4}{5} \cdot 20 \, м = 16 \, м$

Ответ: кинетическая энергия шарика уменьшится в 5,0 раза на высоте 16 м.

г) каким будет модуль скорости движения шарика на высоте h = 15 м

Снова используем закон сохранения энергии для высоты $h = 15 \, м$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Умножим обе части уравнения на $2$ и разделим на $m$:

$v_0^2 = v^2 + 2gh$

Выразим квадрат скорости $v^2$:

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

Отсюда найдем модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{(20 \, \frac{м}{с})^2 - 2 \cdot 10 \, \frac{м}{с^2} \cdot 15 \, м} = \sqrt{400 \, \frac{м^2}{с^2} - 300 \, \frac{м^2}{с^2}} = \sqrt{100 \, \frac{м^2}{с^2}} = 10 \, \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости движения шарика на высоте 15 м будет равен $10 \, \frac{м}{с}$.