Номер 983, страница 187 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 1.0 \text{ кг}$
$F = 2mg$
$\mu = 0.20$
$l = 50 \text{ см}$
$h = 30 \text{ см}$
$v_0 = 0$

Перевод в систему СИ:
$l = 0.5 \text{ м}$
$h = 0.3 \text{ м}$

Найти:

$E_k$ — кинетическую энергию бруска на середине наклонной плоскости.

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на него.

$\Delta E_k = A_{net}$

Так как начальная скорость бруска равна нулю ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $E_{k0}$ также равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия на середине наклонной плоскости ($E_k$) будет равна суммарной работе $A_{net}$, совершенной на пути $s = l/2$.

$E_k = A_{net} = A_F + A_g + A_{тр}$

где $A_F$ — работа приложенной горизонтальной силы, $A_g$ — работа силы тяжести, $A_{тр}$ — работа силы трения. Работа силы реакции опоры равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению.

Для вычислений найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{0.3 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = 0.6$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Расстояние, которое пройдет брусок до середины плоскости, равно $s = \frac{l}{2} = \frac{0.5 \text{ м}}{2} = 0.25 \text{ м}$.

Рассчитаем работу каждой силы. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

1. Работа приложенной горизонтальной силы F

Сила $F$ направлена горизонтально, а перемещение $s$ — под углом $\alpha$ к горизонту. Работа этой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения и величины перемещения.

$A_F = (F \cos\alpha) \cdot s$

Найдем модуль силы $F$:

$F = 2mg = 2 \cdot 1.0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н}$

Теперь рассчитаем работу:

$A_F = (20 \text{ Н} \cdot 0.8) \cdot 0.25 \text{ м} = 16 \text{ Н} \cdot 0.25 \text{ м} = 4.0 \text{ Дж}$

2. Работа силы тяжести mg

Работа силы тяжести отрицательна, так как брусок поднимается. Ее можно вычислить как изменение потенциальной энергии со знаком минус. Высота подъема до середины плоскости $h_s = h/2 = 0.3/2 = 0.15 \text{ м}$.

$A_g = -mg h_s = -1.0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.15 \text{ м} = -1.5 \text{ Дж}$

3. Работа силы трения A_тр

Работа силы трения всегда отрицательна: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot s$. Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$. Найдем силу реакции опоры $N$ из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости. На этой оси сила реакции опоры $N$ уравновешивает сумму проекций силы тяжести ($mg\cos\alpha$) и приложенной силы ($F\sin\alpha$).

$N = mg\cos\alpha + F\sin\alpha$

$N = (1.0 \cdot 10 \cdot 0.8) + (20 \cdot 0.6) = 8 \text{ Н} + 12 \text{ Н} = 20 \text{ Н}$

Теперь найдем силу трения:

$F_{тр} = \mu N = 0.20 \cdot 20 \text{ Н} = 4.0 \text{ Н}$

И работу силы трения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot s = -4.0 \text{ Н} \cdot 0.25 \text{ м} = -1.0 \text{ Дж}$

4. Суммарная работа и кинетическая энергия

Суммируем работы всех сил, чтобы найти искомую кинетическую энергию:

$E_k = A_{net} = A_F + A_g + A_{тр} = 4.0 \text{ Дж} - 1.5 \text{ Дж} - 1.0 \text{ Дж} = 1.5 \text{ Дж}$

Ответ: $1.5 \text{ Дж}$.