Номер 987, страница 188 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$n = 4$ — коэффициент увеличения максимальной высоты подъема.
$h_1$ — начальная максимальная высота подъема.
$h_2 = n \cdot h_1 = 4h_1$ — конечная максимальная высота подъема.
$v_{01}$ — начальная скорость в первом случае.
$v_{02}$ — начальная скорость во втором случае.

Найти:

Во сколько раз необходимо увеличить начальную скорость, то есть найти отношение $\frac{v_{02}}{v_{01}}$.

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его движение является равнозамедленным с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз. На максимальной высоте подъема $h$ мгновенная скорость тела становится равной нулю.

Можно использовать формулу, связывающую высоту подъема, начальную и конечную скорости, без учета времени:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

В нашем случае конечная скорость на максимальной высоте $v = 0$, а ускорение $a = -g$ (если направить ось OY вверх). Тогда формула для максимальной высоты подъема $h$ при начальной скорости $v_0$ примет вид:

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{v_0^2}{2g}$

Из этой формулы видно, что максимальная высота подъема пропорциональна квадрату начальной скорости ($h \propto v_0^2$).

Запишем это выражение для двух случаев:

1. В первом случае: $h_1 = \frac{v_{01}^2}{2g}$

2. Во втором случае: $h_2 = \frac{v_{02}^2}{2g}$

По условию задачи, $h_2 = 4h_1$. Подставим в это соотношение выражения для высот:

$\frac{v_{02}^2}{2g} = 4 \cdot \frac{v_{01}^2}{2g}$

Сократим общий множитель $\frac{1}{2g}$ в обеих частях уравнения:

$v_{02}^2 = 4v_{01}^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей равенства, чтобы найти $v_{02}$:

$v_{02} = \sqrt{4v_{01}^2} = 2v_{01}$

Искомое отношение скоростей равно:

$\frac{v_{02}}{v_{01}} = 2$

Следовательно, для увеличения максимальной высоты подъема в 4 раза, начальную скорость необходимо увеличить в 2 раза.

Ответ: начальную скорость необходимо увеличить в 2 раза.