Номер 991, страница 189 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$
$v_0 = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$h = 30 \text{ м}$
$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$h_1 - ?$
$E_{k_{кон}} - ?$

Решение:

Запишем закон сохранения полной механической энергии. Будем считать, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность земли. Полная механическая энергия тела $E$ равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

На какой высоте над поверхностью земли кинетическая энергия камня увеличится вдвое?

1. Начальное состояние (на высоте $h$):
Начальная кинетическая энергия: $E_{k_0} = \frac{m v_0^2}{2}$.
Начальная потенциальная энергия: $E_{p_0} = m g h$.
Полная начальная энергия: $E_0 = E_{k_0} + E_{p_0} = \frac{m v_0^2}{2} + m g h$.

2. Промежуточное состояние (на искомой высоте $h_1$):
По условию, кинетическая энергия в этом состоянии $E_{k_1}$ в два раза больше начальной: $E_{k_1} = 2 E_{k_0}$.
Потенциальная энергия на высоте $h_1$: $E_{p_1} = m g h_1$.
Полная энергия в этом состоянии: $E_1 = E_{k_1} + E_{p_1} = 2 E_{k_0} + m g h_1$.

3. По закону сохранения энергии $E_0 = E_1$:
$\frac{m v_0^2}{2} + m g h = 2 \cdot (\frac{m v_0^2}{2}) + m g h_1$
$E_{k_0} + m g h = 2 E_{k_0} + m g h_1$
Выразим отсюда $m g h_1$:
$m g h_1 = m g h - E_{k_0}$
$h_1 = h - \frac{E_{k_0}}{m g} = h - \frac{m v_0^2 / 2}{m g} = h - \frac{v_0^2}{2g}$

4. Подставим числовые значения:
$h_1 = 30 \text{ м} - \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = 30 \text{ м} - \frac{100}{20} \text{ м} = 30 \text{ м} - 5 \text{ м} = 25 \text{ м}$.

Ответ: кинетическая энергия камня увеличится вдвое на высоте 25 м.

Какой будет кинетическая энергия камня в момент касания земли?

1. Начальное состояние (на высоте $h$):
Полная начальная энергия: $E_0 = \frac{m v_0^2}{2} + m g h$.

2. Конечное состояние (в момент касания земли, $h_{кон}=0$):
Потенциальная энергия равна нулю: $E_{p_{кон}} = m g h_{кон} = 0$.
Полная конечная энергия равна конечной кинетической энергии: $E_{кон} = E_{k_{кон}} + E_{p_{кон}} = E_{k_{кон}}$.

3. По закону сохранения энергии $E_0 = E_{кон}$:
$E_{k_{кон}} = \frac{m v_0^2}{2} + m g h$.

4. Подставим числовые значения:
$E_{k_{кон}} = \frac{0.6 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{2} + 0.6 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 30 \text{ м}$
$E_{k_{кон}} = \frac{0.6 \cdot 100}{2} \text{ Дж} + 180 \text{ Дж} = 30 \text{ Дж} + 180 \text{ Дж} = 210 \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия камня в момент касания земли будет равна 210 Дж.