Номер 996, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина стержня/нити: $l$

Масса шарика: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Минимальную начальную горизонтальную скорость $v_{min}$

а) жестком невесомом стержне длиной l

Решение:

Для того чтобы шарик совершил полный оборот, он должен достичь верхней точки траектории. Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное (нижнее) положение шарика.

Начальная энергия системы (в нижней точке): $E_1 = K_1 + U_1 = \frac{mv_0^2}{2} + 0$, где $v_0$ - искомая минимальная скорость.

Энергия системы в верхней точке (на высоте $h = 2l$): $E_2 = K_2 + U_2 = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mg(2l)$, где $v_{верх}$ - скорость шарика в верхней точке.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + 2mgl$

Разделим обе части на $m$ и умножим на 2: $v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl$.

Ключевое отличие стержня от нити в том, что стержень может не только растягиваться (работать как нить), но и сжиматься, то есть он может "подталкивать" шарик вверх в верхней точке траектории. Поэтому для совершения полного оборота достаточно, чтобы шарик просто достиг верхней точки. Минимальная скорость в верхней точке может быть равна нулю: $v_{верх, мин} = 0$.

Подставим это условие в уравнение для скорости:

$v_{0, мин}^2 = 0^2 + 4gl$

$v_{0, мин} = \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$

Ответ: $v_{мин} = 2\sqrt{gl}$.

б) легкой нерастяжимой нити длиной l

Решение:

Закон сохранения энергии записывается так же, как и в случае со стержнем:

$v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl$

Однако условие совершения полного оборота для нити другое. Нить, в отличие от стержня, не может толкать, а может только тянуть. Это означает, что для прохождения верхней точки нить должна оставаться натянутой. Сила натяжения нити $T$ должна быть неотрицательной ($T \ge 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке. На него действуют сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T$. Обе направлены вертикально вниз, к центру окружности. Их сумма сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_{верх}^2}{l}$:

$T + mg = m \frac{v_{верх}^2}{l}$

Минимальная скорость в верхней точке $v_{верх, мин}$ соответствует минимально возможному натяжению нити, то есть $T = 0$.

Подставим $T=0$ в уравнение сил:

$mg = m \frac{v_{верх, мин}^2}{l}$

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_{верх, мин}^2 = gl$

Теперь подставим это значение в уравнение, полученное из закона сохранения энергии, чтобы найти искомую минимальную начальную скорость $v_{0, мин}$:

$v_{0, мин}^2 = v_{верх, мин}^2 + 4gl = gl + 4gl = 5gl$

$v_{0, мин} = \sqrt{5gl}$

Ответ: $v_{мин} = \sqrt{5gl}$.