Номер 999, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 1,5 \text{ м}$

Отношение длин плеч $r_1:r_2 = 1:2$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v_{min}$

Решение:

По условию, стержень легкий, поэтому его массой можно пренебречь. Грузы на его концах одинаковы по массе, обозначим массу каждого груза как $m$. Ось вращения проходит через точку, которая делит длину стержня $l$ в отношении 1:2. Найдем длины плеч $r_1$ и $r_2$, на которых находятся грузы относительно оси вращения:

$r_1 + r_2 = l$

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \implies r_2 = 2r_1$

Подставив второе уравнение в первое, получаем:

$r_1 + 2r_1 = l \implies 3r_1 = l \implies r_1 = \frac{l}{3}$

$r_2 = \frac{2l}{3}$

Подставим числовое значение $l = 1,5$ м:

$r_1 = \frac{1,5}{3} = 0,5 \text{ м}$

$r_2 = \frac{2 \cdot 1,5}{3} = 1 \text{ м}$

В положении равновесия стержень расположен вертикально. Поскольку грузы одинаковые, устойчивое положение равновесия соответствует минимальной потенциальной энергии системы, то есть когда груз на более длинном плече ($r_2$) находится внизу, а груз на более коротком плече ($r_1$) — вверху. Согласно условию, скорость сообщается нижнему грузу.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем горизонтальную ось вращения.

Начальное состояние (положение равновесия, момент перед началом движения):

Потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий грузов:

$E_{p1} = m g r_1 + m g (-r_2) = mg(r_1 - r_2)$

Нижнему грузу (на плече $r_2$) сообщают горизонтальную скорость $v$. Так как стержень жесткий, вся система начинает вращаться с одинаковой угловой скоростью $\omega$.

$\omega = \frac{v}{r_2}$

Скорость верхнего груза (на плече $r_1$) будет равна:

$v_1 = \omega r_1 = \frac{v}{r_2} r_1 = v \frac{r_1}{r_2}$

Начальная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий грузов:

$E_{k1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\left(v \frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right)$

Полная начальная энергия:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mg(r_1 - r_2) + \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right)$

Конечное состояние (верхнее положение):

Чтобы стержень совершил полный оборот, ему необходимо как минимум достичь верхнего вертикального положения. Для минимальной начальной скорости, скорость в верхнем положении может быть равной нулю (так как стержень жесткий, а не нить, и не "провиснет").

В верхнем положении стержень перевернут. Груз, который был внизу, теперь наверху, и наоборот. Кинетическая энергия системы равна нулю: $E_{k2} = 0$.

Потенциальная энергия системы в этом положении:

$E_{p2} = mg(-r_1) + mg(r_2) = mg(r_2 - r_1)$

Полная конечная энергия:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mg(r_2 - r_1)$

Закон сохранения энергии:

$E_1 = E_2$

$mg(r_1 - r_2) + \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right) = mg(r_2 - r_1)$

Перенесем слагаемое с потенциальной энергией вправо и сократим массу $m$:

$\frac{1}{2}v^2 \left(1 + \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right) = g(r_2 - r_1) - g(r_1 - r_2) = 2g(r_2 - r_1)$

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{4g(r_2 - r_1)}{1 + (r_1/r_2)^2}$

И найдем скорость $v$ (это и есть искомая минимальная скорость $v_{min}$):

$v_{min} = \sqrt{\frac{4g(r_2 - r_1)}{1 + (r_1/r_2)^2}}$

Подставим числовые значения:

$r_2 - r_1 = 1 \text{ м} - 0,5 \text{ м} = 0,5 \text{ м}$

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{0,5}{1} = \frac{1}{2}$

$1 + \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,5 \text{ м}}{5/4}} = \sqrt{\frac{20}{5/4}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 4}{5}} = \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt{16} = 4 \text{ м/с}$

Ответ: 4 м/с.